Rumus Penjumlahan Trigonometri dan Contoh Soal

Rumus penjumlahan trigonometri adalah rumus yang digunakan untuk menjumlahkan dua sudut trigonometri yang berbeda. Ada empat rumus utama yang perlu kamu pahami dan harus kamu ingat.

Dalam beberapa sumber, rumus penjumlahan trigonometri sering juga disebut sebagai rumus penjumlahan sinus dan cosinus.

Di tulisan sebelumnya Pak Anwar sudah menjelaskan materi mengenai rumus perkalian trigonometri, jika belum membacanya sebaikanya kamu baca dulu tulisan tersebut karena akan ada kaitannya dengan materi ini.

1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri

Berikut adalah rumus penjumlahan trigonometri yang wajib kamu pahami dan hafalkan:

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$

$\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$

$\sin A + \sin B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$

$\sin A + \sin B = - 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$

2. Pembuktian Rumus Penjumlahan Trigonometri

Sekali lagi, agar dapat membuktikan rumus penjumlahan trigonometri kamu harus paham dulu rumus perkalian trigonometri, karena pembuktiannya dimulai dari rumus tersebut. Simaklah pembahasan dibawah ini!

Misalkan $α + β = A$ dan $α - β = B$

Sekarang jumlahkan kedua persamaan tersebut!

$α + β = A$

$α - β = B$

Didapatkan hasilnya

$2 α = A + B$

$α = \frac{A + B}{2}$

Sekarang kurangkan kedua persamaan tersebut!

$α + β = A$

$α - β = B$

Didapatkan hasilnya

$2 β = A - B$

$β = \frac{A - B}{2}$

Sekarang gunakanlah rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus yang sudah dibahas sebelumnya.

$2 \sin α \cos β = \sin (α + β) + \sin (α - β)$

$\sin (α + β) + \sin (α - β) = 2 \sin α \cos β$

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$ terbukti

$2 \cos α \sin β = \sin (α + β) - \sin (α - β)$

$\sin (α + β) - \sin (α - β) = 2 \cos α \sin β$

$\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$ terbukti

$2 \cos α \cos β = \cos (α + β) + \cos (α - β)$

$\cos (α + β) + \cos (α - β) = 2 \cos α \cos β$

$\cos A + \cos B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$ terbukti

$- 2 \sin α \sin β = \cos (α + β) - \cos (α - β)$

$\cos (α + β) - \cos (α - β) = - 2 \sin α \sin β$

$\cos A - \cos B = - 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$ terbukti

Related: Sudut Berelasi dan Contoh Soal

3. Contoh Soal Penjumlahan Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal penjumlahan trigonometri yang dapat kamu pelajari di blog ini!

1). Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut:

a. $\sin 3 x - \sin x$

b. $\cos 5 α + \cos 3 α$

c. $\cos (x + h) - \cos x$

d. $\sin (α + β) + \sin (α - β)$

Jawaban 1a

$\sin 3 x - \sin x$

Misalkan $3 x = A$ dan $x = B$

$\sin A - \sin B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$

$\begin{aligned} \sin 3 x - \sin x & = 2 \cos (\frac{3 x + x}{2}) \sin (\frac{3 x - x}{2}) \\ = 2 \cos (\frac{4 x}{2}) \sin (\frac{2 x}{2}) \\ = 2 \cos 2 x \sin x \end{aligned}$

Jawaban 1b

$\cos 5 α + \cos 3 α$

Misalkan $5 α = A$ dan $3 α = B$

$\cos A + \cos B = 2 \cos (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$

$\begin{aligned} \cos 5 α + \cos 3 α & = 2 \cos (\frac{5 α + 3 α}{2}) \cos (\frac{5 α - 3 α}{2}) \\ = 2 \cos (\frac{8 α}{2}) \cos (\frac{2 α}{2}) \\ = 2 \cos 4 α \cos α \end{aligned}$

Jawaban 1c

$\cos (x + h) - \cos x$

Misalkan $(x + h) = A$ dan $x = B$

$\cos A - \cos B = - 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$

$\begin{aligned} \cos (x + h) - \cos x & = - 2 \sin (\frac{(x + h) + x}{2}) \sin (\frac{(x + h) - x}{2}) \\ = - 2 \sin (\frac{2 x + h}{2}) \sin (\frac{h}{2}) \end{aligned}$

Jawaban 1d

$\sin (α + β) + \sin (α - β)$

Misalkan $(α + β) = A$ dan $(α - β) = B$

$\sin A + \sin B = 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \cos (\frac{A - B}{2})$

$\begin{aligned} \sin (α + β) + \sin (α - β) & = 2 \sin (\frac{(α + β) + (α - β)}{2}) \cos (\frac{(α + β) - (α - β)}{2}) \\ = 2 \sin (\frac{2 α}{2}) \cos (\frac{2 β}{2}) \\ = 2 \sin α \cos β \end{aligned}$

2). Berapakah nilai dari:

a. $\cos 75^{\circ} - \cos 15^{\circ}$

b. $\frac{\cos 15^{\circ} - \cos 75^{\circ}}{\sin 15^{\circ} - \sin 75^{\circ}}$

Jawaban 2a

$\cos 75^{\circ} - \cos 15^{\circ}$

Misalkan $75^{\circ} = A$ dan $15^{\circ} = B$

$\cos A - \cos B = - 2 \sin (\frac{A + B}{2}) \sin (\frac{A - B}{2})$

$\begin{aligned} \cos 75^{\circ} - \cos 15^{\circ} & = - 2 \sin (\frac{75^{\circ} + 15^{\circ}}{2}) \sin (\frac{75^{\circ} - 15^{\circ}}{2}) \\ = - 2 \sin (\frac{90^{\circ}}{2}) \sin (\frac{60^{\circ}}{2}) \\ = - 2 \sin 45^{\circ} \sin 30^{\circ} \\ = - 2 \times \frac{1}{2} \sqrt{2} \times \frac{1}{2} \\ = - \frac{1}{2} \sqrt{2} \end{aligned}$

Jawaban 2b

$\begin{aligned} \frac{\cos 15^{\circ} - \cos 75^{\circ}}{\sin 15^{\circ} - \sin 75^{\circ}} & = \frac{- 2 \sin (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2}) \sin (\frac{15^{\circ} - 75^{\circ}}{2})}{2 \cos (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2}) \sin (\frac{15^{\circ} - 75^{\circ}}{2})} \\ = - \frac{\sin (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2})}{\cos (\frac{15^{\circ} + 75^{\circ}}{2})} \\ = - \frac{\sin (\frac{90^{\circ}}{2})}{\cos (\frac{90^{\circ}}{2})} \\ = - \frac{\sin 45^{\circ}}{\cos 45^{\circ}} \\ = - \tan 45^{\circ} \\ = - 1 \end{aligned}$

3). Buktikan identitas berikut:

a. $\frac{\sin 7 α - \sin 5 α}{\cos 7 α + \cos 5 α} = \tan α$

b. $\frac{\sin β + \sin 3 β}{\cos β + \cos 3 β} = \tan 2 β$

Jawaban 3a

$\begin{aligned} \frac{\sin 7 α - \sin 5 α}{\cos 7 α - \cos 5 α} & = \frac{2 \cos (\frac{7 α + 5 α}{2}) \sin (\frac{7 α - 5 α}{2})}{2 \cos (\frac{7 α + 5 α}{2}) \cos (\frac{7 α - 5 α}{2})} \\ = \frac{\sin (\frac{7 α - 5 α}{2})}{\cos (\frac{7 α - 5 α}{2})} \\ = \frac{\sin (\frac{2 α}{2})}{\cos (\frac{2 α}{2})} \\ = \frac{\sin α}{\cos α} \\ = \tan α \end{aligned}$

Jawaban 3b

$\begin{aligned} \frac{\sin β + \sin 3 β}{\cos β + \cos 3 β} & = \frac{2 \sin (\frac{β + 3 β}{2}) \cos (\frac{β - 3 β}{2})}{2 \cos (\frac{β + 3 β}{2}) \cos (\frac{β - 3 β}{2})} \\ = \frac{\sin (\frac{β + 3 β}{2})}{\cos (\frac{β + 3 β}{2})} \\ = \frac{\sin (\frac{4 β}{2})}{\cos (\frac{4 β}{2})} \\ = \frac{\sin 2 β}{\cos 2 β} \\ = \tan 2 β \end{aligned}$

4. Soal Latihan Rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus

Setelah kamu mempelajari bagaimana bentuk rumusnya, bagaimana pembuktian rumusnya, dan seperti apa contoh soalnya, sekarang coba kamu selesaikan soal latihan dibawah ini agar kamu semakin paham.

Itulah penjelasan lengkap mengenai rumus penjumlahan trigonometri dan contoh soal yang dibahas oleh Pak Anwar, semoga kamu paham dengan apa yang dijelaskan. Selain tulisan ini, kamu juga bisa membaca materi matematika lainnya di blog ini.

Jika kamu suka dengan artikel ini jangan lupa untuk memberi bintang dan share artikel ini yaa. See you, bye.