Rumus Penjumlahan Trigonometri dan Contoh Soal

Rumus penjumlahan trigonometri adalah rumus yang digunakan untuk menjumlahkan dua sudut trigonometri yang berbeda.
Rumus Penjumlahan Trigonometri

Rumus penjumlahan trigonometri adalah rumus yang digunakan untuk menjumlahkan dua sudut trigonometri yang berbeda. Ada empat rumus utama yang perlu kamu pahami dan harus kamu ingat.

Dalam beberapa sumber, rumus penjumlahan trigonometri sering juga disebut sebagai rumus penjumlahan sinus dan cosinus.

Di tulisan sebelumnya Pak Anwar sudah menjelaskan materi mengenai rumus perkalian trigonometri, jika belum membacanya sebaikanya kamu baca dulu tulisan tersebut karena akan ada kaitannya dengan materi ini.


1. Rumus Penjumlahan dan Pengurangan Trigonometri

Berikut adalah rumus penjumlahan trigonometri yang wajib kamu pahami dan hafalkan:

sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(AB2)

sinAsinB=2cos(A+B2)sin(AB2)

sinA+sinB=2cos(A+B2)cos(AB2)

sinA+sinB=2sin(A+B2)sin(AB2)


2. Pembuktian Rumus Penjumlahan Trigonometri

Sekali lagi, agar dapat membuktikan rumus penjumlahan trigonometri kamu harus paham dulu rumus perkalian trigonometri, karena pembuktiannya dimulai dari rumus tersebut. Simaklah pembahasan dibawah ini!


Misalkan α+β=A dan αβ=B

Sekarang jumlahkan kedua persamaan tersebut!  

α+β=A

αβ=B

Didapatkan hasilnya

2α=A+B

α=A+B2

Sekarang kurangkan kedua persamaan tersebut!

α+β=A

αβ=B  

Didapatkan hasilnya 

2β=AB

β=AB2

Sekarang gunakanlah rumus perkalian fungsi sinus dan cosinus yang sudah dibahas sebelumnya.

2sinαcosβ=sin(α+β)+sin(αβ)

sin(α+β)+sin(αβ)=2sinαcosβ

sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(AB2) terbukti


2cosαsinβ=sin(α+β)sin(αβ)

sin(α+β)sin(αβ)=2cosαsinβ

sinAsinB=2cos(A+B2)sin(AB2) terbukti


2cosαcosβ=cos(α+β)+cos(αβ)

cos(α+β)+cos(αβ)=2cosαcosβ

cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(AB2) terbukti


2sinαsinβ=cos(α+β)cos(αβ)

cos(α+β)cos(αβ)=2sinαsinβ

cosAcosB=2sin(A+B2)sin(AB2) terbukti 


3. Contoh Soal Penjumlahan Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal penjumlahan trigonometri yang dapat kamu pelajari di blog ini!


1). Sederhanakanlah bentuk-bentuk berikut:

a. sin3xsinx

b. cos5α+cos3α

c. cos(x+h)cosx

d. sin(α+β)+sin(αβ)


Jawaban 1a

sin3xsinx

Misalkan 3x=A dan x=B

sinAsinB=2cos(A+B2)sin(AB2)

sin3xsinx=2cos(3x+x2)sin(3xx2)=2cos(4x2)sin(2x2)=2cos2xsinx


Jawaban 1b

cos5α+cos3α

Misalkan 5α=A dan 3α=B

cosA+cosB=2cos(A+B2)cos(AB2)

cos5α+cos3α=2cos(5α+3α2)cos(5α3α2)=2cos(8α2)cos(2α2)=2cos4αcosα


Jawaban 1c

cos(x+h)cosx

Misalkan (x+h)=A dan x=B

cosAcosB=2sin(A+B2)sin(AB2)

cos(x+h)cosx=2sin((x+h)+x2)sin((x+h)x2)=2sin(2x+h2)sin(h2)


Jawaban 1d

sin(α+β)+sin(αβ)

Misalkan (α+β)=A dan (αβ)=B

sinA+sinB=2sin(A+B2)cos(AB2)

sin(α+β)+sin(αβ)=2sin((α+β)+(αβ)2)cos((α+β)(αβ)2)=2sin(2α2)cos(2β2)=2sinαcosβ


2). Berapakah nilai dari:

a. cos75cos15

b. cos15cos75sin15sin75


Jawaban 2a

cos75cos15

Misalkan 75=A dan 15=B

cosAcosB=2sin(A+B2)sin(AB2)

cos75cos15=2sin(75+152)sin(75152)=2sin(902)sin(602)=2sin45sin30=2×122×12=122


Jawaban 2b

cos15cos75sin15sin75=2sin(15+752)sin(15752)2cos(15+752)sin(15752)=sin(15+752)cos(15+752)=sin(902)cos(902)=sin45cos45=tan45=1


3). Buktikan identitas berikut:

a. sin7αsin5αcos7α+cos5α=tanα

b. sinβ+sin3βcosβ+cos3β=tan2β


Jawaban 3a

sin7αsin5αcos7αcos5α=2cos(7α+5α2)sin(7α5α2)2cos(7α+5α2)cos(7α5α2)=sin(7α5α2)cos(7α5α2)=sin(2α2)cos(2α2)=sinαcosα=tanα


Jawaban 3b

sinβ+sin3βcosβ+cos3β=2sin(β+3β2)cos(β3β2)2cos(β+3β2)cos(β3β2)=sin(β+3β2)cos(β+3β2)=sin(4β2)cos(4β2)=sin2βcos2β=tan2β


4. Soal Latihan Rumus Penjumlahan Sinus dan Cosinus

Setelah kamu mempelajari bagaimana bentuk rumusnya, bagaimana pembuktian rumusnya, dan seperti apa contoh soalnya, sekarang coba kamu selesaikan soal latihan dibawah ini agar kamu semakin paham.


Itulah penjelasan lengkap mengenai rumus penjumlahan trigonometri dan contoh soal yang dibahas oleh Pak Anwar, semoga kamu paham dengan apa yang dijelaskan. Selain tulisan ini, kamu juga bisa membaca materi matematika lainnya di blog ini.

Jika kamu suka dengan artikel ini jangan lupa untuk memberi bintang dan share artikel ini yaa. See you, bye.


Posting Komentar