Pada artikel ini akan dibahas mengenai definisi trigonometri dan formula dasar perbandingan trigonometri secara mendalam. Trigonometri berasal dari bahasa Yunani yaitu trigonon (tiga sudut) dan metron (mengukur). Trigonometri adalah cabang matematika yang mempelajari ilmu ukur sisi dan sudut suatu segitiga, dalam hal ini adalah segitiga siku-siku.
Pembahasan mengenai trigonometri erat kaitannya dengan ukuran sudut (derajat, radian, dan putaran), jika Kamu belum membaca materi tersebut sebaiknya baca terlebih dahulu agar kedepannya Kamu tidak kesulitan dalam mempelajari materi trigonometri.
Perhatikan gambar diatas!
Sebelum mendefinisikan keenam perbandingan trigonometri, perlu diketahui bahwa sisi didepan sudut disebut dengan opposite (sisi depan), sisi disamping sudut disebut dengan adjacent (sisi samping), sisi diatas sudut disebut dengan hypotenuse (sisi miring).
Agar lebih mudah, Kita akan menyingkatnya kedalam bahasa Indonesia, dimana sisi depan menjadi $De$, sisi samping menjadi $Sa$, dan sisi miring menjadi $Mi$. Keenam perbandingan trigonometri tersebut antara lain sinus (sin), cosinus (cos), tangen (tan), cotangen (cot), secan (sec), dan cosecan (csc).
Formula Dasar / Definisi Perbandingan Trigonometri
Berdasarkan gambar diatas, berikut adalah definisi dari perbandingan trigonometri.
$\displaystyle \sin \theta = \frac {De}{Mi}= \frac {a}{c}$
$\displaystyle \cos \theta = \frac {Sa}{Mi}= \frac {b}{c}$
$\displaystyle \tan \theta = \frac {De}{Sa}= \frac {a}{b}$
$\displaystyle \csc \theta = \frac {Mi}{De}= \frac {c}{a}$
$\displaystyle \sec \theta = \frac {Mi}{Sa}= \frac {c}{b}$
$\displaystyle \cot \theta = \frac {Sa}{De}= \frac {b}{a}$
Formula diatas wajib diingat sebab merupakan sebuah definisi.
Tips Mengingat Rumus
Coba deh perhatikan baik-baik rumus perbandingan trigonometri diatas. Kamu hanya perlu mengingat perbandingan dari sin, cos, dan tan karena yang lainnya merupakan kebalikannya.
Contoh: sin itu De dibagi Mi, sedangkan csc merupakan kebalikannya yaitu Mi dibagi De
Kamu hanya perlu mengingat (sin De Mi), (cos Sa Mi), (tan De Sa)
Setelah itu Kamu ingat hubungannya yaitu (sin dengan csc), (cos dengan sec), dan (tan dengan cot). Nah hubungan ini Saya namakan "Hubungan Pertama" dan harus selalu diingat, karena kedepannya akan banyak rumus lagi yang memerlukan "hubungan pertama" dalam mengingat rumus-rumusnya.
Gimana, gampang kan?
Formula Lain yang Harus Diingat
Meskipun formula ini bukan sebuah definisi akan tetapi formula ini sangatlah penting, dengan menginat formula ini Kamu akan semakin mudah dalam mempelajari trigonometri.
$\displaystyle \tan \theta = \frac {\sin \theta}{\cos \theta}$
$\displaystyle \cot \theta = \frac {\cos \theta}{\sin \theta}$
$\displaystyle \csc \theta = \frac {1}{\sin \theta}$
$\displaystyle \sec \theta = \frac {1}{\cos \theta}$
$\displaystyle \cot \theta = \frac {1}{\tan \theta}$
Berikut adalah pembuktian rumusnya:
$\displaystyle \begin{aligned} \tan \theta &= \frac {a}{b} \\ \tan \theta &= \frac {a}{b} \times \frac {c}{c} \\ \tan \theta &= \frac {a}{c} \times \frac {c}{b} \\ \tan \theta &= \frac {\frac {a}{c}}{\frac {b}{c}} \\ \tan \theta &= \frac {\sin \theta}{\cos \theta} \space \text{[terbukti]}\end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned} \cot \theta &= \frac {b}{a} \\ \cot \theta &= \frac {b}{a} \times \frac {c}{c} \\ \cot \theta &= \frac {b}{c} \times \frac {c}{a} \\ \cot \theta &= \frac {\frac {b}{c}}{\frac {a}{c}} \\ \cot \theta &= \frac {\cos \theta}{\sin \theta} \space \text{[terbukti]}\end{aligned}$
Gimana, paham? lanjuuutt
$\displaystyle \begin{aligned} \csc \theta &= \frac {c}{a} \\ \csc \theta &= \frac {c}{a} \times \frac {c}{c} \\ \csc \theta &= \frac {c}{c} \times \frac {c}{a} \\ \csc \theta &= \frac {\frac {c}{c}}{\frac {a}{c}} \\ \csc \theta &= \frac {1}{\sin \theta} \space \text{[terbukti]}\end{aligned}$
$\displaystyle \begin{aligned} \sec \theta &= \frac {c}{b} \\ \sec \theta &= \frac {c}{b} \times \frac {c}{c} \\ \sec \theta &= \frac {c}{c} \times \frac {c}{b} \\ \sec \theta &= \frac {\frac {c}{c}}{\frac {b}{c}} \\ \sec \theta &= \frac {1}{\cos \theta} \space \text{[terbukti]} \end{aligned}$
Terakhir nih, perhatikan!
$\displaystyle \begin{aligned} \cot \theta &= \frac {b}{a} \\ \cot \theta &= \frac {b}{a} \times \frac {b}{b} \\ \cot \theta &= \frac {b}{b} \times \frac {b}{a} \\ \cot \theta &= \frac {\frac {b}{b}}{\frac {a}{b}} \\ \cot \theta &= \frac {1}{\tan \theta} \space \text{[terbukti]}\end{aligned}$
Contoh Soal Perbandingan Trigonometri
1). Tentukan nilai perbandingan-perbandingan trigonometri untuk segitiga berikut!
Jawab:
$\sin \theta = \frac {De}{Mi}= \frac {3}{5}$
$\cos \theta = \frac {Sa}{Mi}= \frac {4}{5}$
$\tan \theta = \frac {De}{Sa}= \frac {3}{4}$
$\cot \theta = \frac {Sa}{De}= \frac {4}{3}$
$\sec \theta = \frac {Mi}{Sa}= \frac {5}{4}$
$\csc \theta = \frac {Mi}{De}= \frac {5}{3}$
2). Diberikan $\sin \theta = \frac {3}{5}$ , dengan $\theta$ adalah sudut lancip. Hitunglah $\cos \theta, \tan \theta$, dan $\sec \theta$. .
Jawab:
Diketahui $\sin A=\frac {3}{5}$, artinya $De=3$ dan $Mi=5$. Sisi samping bisa dicari dengan menggunakan pythagoras.
$Sa=\sqrt {5^{2}-3^{2}}$
$Sa=\sqrt {25-9}$
$Sa=\sqrt {16}$
$Sa=4$
$\cos \theta =\frac {Sa}{Mi}= \frac {4}{5}$
$\tan \theta =\frac {De}{Sa}= \frac {3}{4}$
$\sec \theta =\frac {Mi}{Sa}= \frac {5}{4}$
3). Apabila $A$ sudut lancip, dan $\cos A = \frac {3}{5}$ , tentukan nilai dari $\frac {\sin A \tan A -1}{2 \tan^{2} A}$ !
Jawab:
Diketahui $\cos A = \frac {3}{5}$ , artinya $Sa=3$ dan $Mi=5$. Dengan menggunakan rumus pythagoras didapatkan $De=4$
Sehingga $\sin A = \frac {4}{5}$ dan $\tan A = \frac {4}{3}$
$\displaystyle \begin{aligned} \frac {\sin A \tan A -1}{2 \tan^{2} A} &= \frac {\left( \frac {4}{5} \times \frac {4}{3} \right) -1}{2 \times {\left( \frac{4}{3} \right)^{2}}} \\ &= \frac {\frac {16}{15} -1}{2 \times {\frac{16}{9}}} \\ &= \frac {\frac {16}{15} -\frac {15}{15}}{\frac{32}{9}} \\ &= \frac {\frac {1}{15}}{\frac{32}{9}} \\ &=\frac {1}{15} \times \frac{9}{32} \\ &=\frac {9}{480} \\ &=\frac {3}{160} \end{aligned}$
4). Jika $5 \tan \theta =4$, tentukanlah nilai dari $\frac {5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta}$ !
Jawab:
Diketahui $5 \tan \theta =4$, maka $\tan \theta = \frac {4}{5}$
$\tan \theta = \frac {De}{Sa} = \frac {4}{5}$ , artinya $De=4$, $Sa=5$. Dengan menggunakan pythagoras didapatkanlah $Mi = \sqrt {41}$
Sehingga $\sin \theta = \frac {De}{Mi} = \frac {4}{\sqrt {41}}$ dan $\cos \theta = \frac {Sa}{Mi}= \frac {5}{\sqrt{41}}$
$\displaystyle \begin{aligned} \frac {5 \sin \theta - 3 \cos \theta}{5 \sin \theta + 2 \cos \theta} &= \frac {\left(5 \times \frac {4}{\sqrt {41}} \right) - \left(3 \times \frac{5}{\sqrt {41}} \right)}{\left(5 \times \frac {4}{\sqrt {41}} \right) + \left(2 \times \frac{5}{\sqrt {41}} \right)} \\ &= \frac {\frac {20}{\sqrt {41}} - \frac{15}{\sqrt {41}}}{\frac {20}{\sqrt {41}} + \frac{10}{\sqrt {41}}} \\ &= \frac {\frac {5}{\sqrt {41}}}{\frac {30}{\sqrt {41}}} \\ &= \frac {5}{\sqrt {41}} \times \frac {\sqrt{41}}{30} \\ &= \frac {5}{30} \\ &= \frac {1}{6} \end{aligned}$
Soal Latihan Perbandingan Trigonometri
1. Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di titik $A$ dengan $AB=3$ cm dan $BC=6$ cm. Nilai dari $\sin B$ adalah . . .
a. $\displaystyle \frac{1}{2}$
b. $\displaystyle \frac{3}{4}$
c. $\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{3}$
d. $\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3}$
e. $\displaystyle \frac{3}{4} \sqrt{3}$
2. Diketahui segitiga $ABC$ siku-siku di titik $C$ dengan $\displaystyle \sin A = \frac{1}{2} \sqrt{3}$. Nilai dari $\cos B$ adalah . . .
a. $\displaystyle \frac{1}{3}$
b. $\displaystyle \frac{1}{2}$
c. $\displaystyle \frac{2}{3} \sqrt{3}$
d. $\displaystyle \frac{1}{3} \sqrt{2}$
e. $\displaystyle \frac{1}{2} \sqrt{3}$
3. Diketahui $\tan \alpha = p$. Nilai $\sin \alpha$ dalam $p$ adalah . . .
a. $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1+p^{2}}}$
b. $\displaystyle \frac{p}{\sqrt{1+p^{2}}}$
c. $\displaystyle \frac{1}{\sqrt{p^{2}-1}}$
d. $\displaystyle \frac{p}{\sqrt{p^{2}-1}}$
e. $\displaystyle \frac{p}{p^{2}-1}$
4. Diketahui $\displaystyle \sin A = \frac{3}{5}$ dan $\displaystyle \cos B = \frac{12}{13}$. Sudut $A$ dan sudut $B$ adalah sudut lancip. Nilai dari $\sin A . \cos B - \cos A . \sin B$ adalah . . .
a. $\displaystyle \frac{16}{65}$
b. $\displaystyle \frac{20}{65}$
c. $\displaystyle \frac{24}{65}$
d. $\displaystyle \frac{36}{65}$
e. $1$
5. Diketahui segitiga $ABC$ dengan siku-siku di $C$ seperti gambar dibawah ini!
6. Pada segitiga $PQR$ dibawah ini, tentukan nilai dari $\sin \alpha + \sin \beta$.
Nah itulah pembahasan untuk definisi perbandibgan trigonometri. Selanjutnya akan dibahas materi sudut istimewa pada trigonometri. Jika artikel ini bermanfaat jangan lupa untuk share ke media sosial Kamu, dan jika Kamu ada pertanyaan silahkan berkomentar di kolom yang sudah disediakan.
Posting Komentar