Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri - Dokmat

Rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri adalah rumusan yang digunakan untuk menghitung nilai perbandingan trigonometri dari jumlah atau selisih dua sudut.

Pada tulisan ini akan dijelaskan mengenai pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri, contoh soal, dan pembahasannya.

1. Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Ada tiga bentuk rumus jumlah dan selisih sudut trigonometri yang akan kita bahas yaitu sinus, cosinus, dan tangen. Adapun rumusnya seperti berikut ini!

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{r}\sin (\alpha \pm \beta )=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha \pm \beta )=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta \\ \tan (\alpha \pm \beta )=\frac{\tan \alpha \pm \tan \beta }{1\mp \tan \alpha \tan \beta }\end{array}}}}$

2. Pembuktian Rumus Jumlah dan Selisih Sudut

Sebuah rumus tentunya tidak serta merta ada, pastinya ada proses yang dilalui terlebih dahulu. Jadi sebelum membahasa contoh soal, kita bahas dulu pembuktian rumusnya.

Perhatikan gambar dibawah ini!

Lihat Segitiga $ACD$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\sin \alpha & =\frac{AD}{b}\\ b\sin \alpha & =AD\\ \cos \alpha & =\frac{CD}{b}\\ b\cos \alpha & =CD\end{array}}$

Lihat Segitiga $BCD$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\sin \beta & =\frac{BD}{a}\\ a\sin \beta & =BD\\ \cos \beta & =\frac{CD}{a}\\ a\cos \beta & =CD\end{array}}$

Kita mendapatkan $CD=a\cos \beta =b\cos \alpha$

Selanjutnya akan Kita cari luas segitiga diatas.

Luas Segitiga $ACD$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times alas\times tinggi}$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times AD\times CD}$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times b\sin \alpha \times a\cos \beta }$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}ab\sin \alpha \cos \beta }$

 Luas Segitiga $BCD$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times alas\times tinggi}$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times BD\times CD}$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}\times a\sin \beta \times b\cos \alpha }$

Related: Sudut Berelasi dan Contoh Soal

${\displaystyle L=\frac{1}{2}ab\sin \beta \cos \alpha }$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}ab\cos \alpha \sin \beta }$ 

Luas Segitiga $ABC$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}ab\sin C}$

${\displaystyle L=\frac{1}{2}ab\sin (\alpha +\beta )}$

$L\mathrm{△}ABC=L\mathrm{△}ACD+L\mathrm{△}BCD$

${\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin (\alpha +\beta )=\frac{1}{2}ab\sin \alpha \cos \beta +\frac{1}{2}ab\cos \alpha \sin \beta }$

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$ . . . (1)

Dari persamaan (1), Kita ganti $\beta$ dengan $-\beta$

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha +(-\beta ))=\sin \alpha \cos (-\beta )+\cos \alpha \sin (-\beta )$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha (-\sin \beta )$

$\sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta$ . . . (2)

Sehingga akhirnya kita mendapatkan rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri untuk sinus.

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta \\ \sin (\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta \end{array}}}$

Selanjutnya kita akan mencari rumusan untuk cosinus, Kita akan mencarinya dengan menggunakan rumus sudut berelasi. Perhatikan penjelasan dibawah ini!

$\cos (\alpha +\beta )=\sin ({90}^{\circ }-(\alpha +\beta ))$

$\cos (\alpha +\beta )=\sin ({90}^{\circ }-\alpha -\beta )$

$\cos (\alpha +\beta )=\sin (({90}^{\circ }-\alpha )-\beta ))$

Selanjutnya Kita pakai rumus persamaan (2)

$\cos (\alpha +\beta )=\sin ({90}^{\circ }-\alpha )\cos \beta -\cos ({90}^{\circ }-\alpha )\sin \beta$

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$ . . . (3)

Dari persamaan (3), Kita ganti $\beta$ dengan $-\beta$

Related: Penerapan Perbandingan Trigonometri

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +(-\beta ))=\cos \alpha \cos (-\beta )-\sin \alpha \sin (-\beta )$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha (-\sin \beta )$

$\cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta$ . . . (4)

Jadi rumus jumlah dan selisih dua sudut trigonometri untuk cosinus adalah sebagai berikut!

$\boxed{{\displaystyle \begin{array}{r}\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta \\ \cos (\alpha -\beta )=\cos \alpha \cos \beta +\sin \alpha \sin \beta \end{array}}}$

Nah yang terakhir Kita akan mencari rumusan untuk tangen, simak baik-baik!

Dipembahasan awal Kita sudah tau bahwa $\tan \theta =\frac{\sin \theta }{\cos \theta }$, sehingga

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin (\alpha +\beta )}{\cos (\alpha +\beta )}}$

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }}$

Sekarang bagi pembilang dan penyebutnya dengan $\cos \alpha \cos \beta$, sehingga menjadi

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }+\frac{\cos \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}{\frac{\cos \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta }-\frac{\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}}$

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha .1+1.\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$ . . . (5)

Dari persamaan (5), Kita ganti $\beta$ dengan $-\beta$

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

${\displaystyle \tan (\alpha +(-\beta ))=\frac{\tan \alpha +\tan (-\beta )}{1-\tan \alpha \tan (-\beta )}}$

${\displaystyle \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha +(-\tan \beta )}{1-\tan \alpha (-\tan \beta )}}$

${\displaystyle \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }}$ . . . (6)

Setelah melalui proses yang cukup panjang akhirnya Kita mendapatkan rumus jumlah dan selisih trigonometri untuk tangen.

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{r}\tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }\\ \tan (\alpha -\beta )=\frac{\tan \alpha -\tan \beta }{1+\tan \alpha \tan \beta }\end{array}}}}$

3. Contoh Soal Rumus Jumlah dan Selisih Dua Sudut

Dengan menggunakan tabel sudut istimewa, berapakah nilai dari:

1). $\sin {15}^{\circ }$

2). $\cos {15}^{\circ }$

3). $\tan {15}^{\circ }$

4). $\cos {75}^{\circ }$

5). $\tan {105}^{\circ }$

Related: Sudut Istimewa dan Pembuktiannya

Nah untuk menjawab soal diatas Kita harus cari dulu nilai sudut istimewa untuk $\alpha$ dan $\beta$ yang memenuhi.

Jawaban No 1

Ada dua kemungkinan nilai sudut istimewa yang memenuhi $\sin {15}^{\circ }$ yaitu $\sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })$ dan $\sin ({60}^{\circ }-{45}^{\circ })$

Kedua kemungkinan tersebut bisa Kamu gunakan salah satunya saja, karena hasilnya akan sama.

Cara Pertama

$\sin {15}^{\circ }=\sin ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })$

$\sin {15}^{\circ }=\sin {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }-\cos {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=(\frac{1}{2}\sqrt{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{3})-(\frac{1}{2}\sqrt{2}\times \frac{1}{2})}$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

Cara Kedua

$\sin {15}^{\circ }=\sin ({60}^{\circ }-{45}^{\circ })$

$\sin {15}^{\circ }=\sin {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }-\cos {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=(\frac{1}{2}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\sqrt{2})-(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{2})}$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}$

${\displaystyle \sin {15}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

Jawaban No 2

$\cos {15}^{\circ }=\cos ({60}^{\circ }-{45}^{\circ })$

$\cos {15}^{\circ }=\cos {60}^{\circ }\cos {45}^{\circ }+\sin {60}^{\circ }\sin {45}^{\circ }$

${\displaystyle \cos {15}^{\circ }=(\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{2})+(\frac{1}{2}\sqrt{3}\times \frac{1}{2}\sqrt{2})}$

${\displaystyle \cos {15}^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{2}-\frac{1}{4}\sqrt{6}}$

${\displaystyle \cos {15}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{2}-\sqrt{6})}$

Cara keduanya kerjakan sendiri aja yaa . . .

Jawaban No 3

$\tan {15}^{\circ }=\tan ({45}^{\circ }-{30}^{\circ })$

Related: Definisi Trigonometri

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{\tan {45}^{\circ }-\tan {30}^{\circ }}{1+(\tan {45}^{\circ }\times \tan {30}^{\circ })}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{1-\frac{1}{3}\sqrt{3}}{1+(1\times \frac{1}{3}\sqrt{3})}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{\frac{3-\sqrt{3}}{3}}{\frac{3+\sqrt{3}}{3}}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{3-\sqrt{3}}{3+\sqrt{3}}}$

Dalam soal pilihan ganda biasanya hasilnya cukup sampai disitu, tapi jika pada esay biasanya harus sampai bentuk yang paling sederhana. Nah bentuk diatas belum rasional sehingga harus dirasionalkan terlebih dahulu, caranya kalikanlah dengan sekawan penyebutnya. Oke lanjut!

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{(3-\sqrt{3})}{(3+\sqrt{3})}\times \frac{(3-\sqrt{3})}{(3-\sqrt{3})}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{9-3\sqrt{3}-3\sqrt{3}+3}{9-3\sqrt{3}+3\sqrt{3}-3}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=\frac{12-6\sqrt{3}}{6}}$

${\displaystyle \tan {15}^{\circ }=2-\sqrt{3}}$

Cara keduanya kerjakan sendiri aja yaa . . .

Jawaban No 4

$\cos {75}^{\circ }=\cos ({45}^{\circ }+{30}^{\circ })$

$\cos {75}^{\circ }=\cos {45}^{\circ }\cos {30}^{\circ }-\sin {45}^{\circ }\sin {30}^{\circ }$

${\displaystyle \cos {75}^{\circ }=(\frac{1}{2}\sqrt{2}\times \frac{1}{2}\sqrt{3})-(\frac{1}{2}\sqrt{2}\times \frac{1}{2})}$

${\displaystyle \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{4}\sqrt{6}-\frac{1}{4}\sqrt{2}}$

${\displaystyle \cos {75}^{\circ }=\frac{1}{4}(\sqrt{6}-\sqrt{2})}$

Jawaban No 5

$\tan {105}^{\circ }=\tan ({60}^{\circ }+{45}^{\circ })$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{\tan {60}^{\circ }+\tan {45}^{\circ }}{1-(\tan {60}^{\circ }\times \tan {45}^{\circ })}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}+1}{1-(\sqrt{3}\times 1)}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{\sqrt{3}+1}{1-\sqrt{3}}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{1+\sqrt{3}}{1-\sqrt{3}}}$

Sekarang saya tunjukan cara merasionalkan dengan cara yang lain, yaitu dengan mengubah bentunya. Perhatikan!

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{(1+\sqrt{3})}{(1-\sqrt{3})}\times \frac{(1+\sqrt{3})}{(1+\sqrt{3})}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{{(1+\sqrt{3})}^2}{1^2-{\sqrt{3}}^2}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{1+2\sqrt{3}+3}{1-3}}$

${\displaystyle \tan {105}^{\circ }=\frac{4+2\sqrt{3}}{-2}}$

$\tan {105}^{\circ }=-2-\sqrt{3}$

Baik, itulah pembahasan lengkap pembuktian jumlah dan selisih dua sudut trigonometri beserta soal dan jawabannya. Selanjutnya akan dibahas pembuktian rumus trigonometri sudut rangkap.

Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share, dan jangan lupa untuk memberikan penilaian terhadap tulisan ini. see you, bye . . .