Barisan Aritmatika, Pembuktian Rumus, dan Contoh Soal - Dokmat

Jika  Kamu bertanya apa yang dimaksud barisan aritmatika? Sekarang Kamu sudah berada di tempat yang tepat, karena disini Kamu akan belajar mengenai barisan aritmatika secara lengkap.

Kamu juga akan diberikan pemahaman mengenai pembuktian rumus barisan aritmatika. Pastinya gak akan nyesel deh kalau Kamu belajar barisan dan deret aritmatika di blog Dokmat.

Bukan hanya itu saja, dalam tulisan ini akan dijelaskan pula mengenai contoh soal barisan aritmatika beserta jawabannya. Tentunya hal itu akan membuat Kamu semakin paham dengan materi yang diajarkan.

Sebenarnya apa sih yang dimaksud barisan? Agar mudah dalam memahaminya, simaklah cerita berikut!

"Sebuah perahu boot berada 5 m dari bibir dermaga, perahu tersebut sedang bersiap-siap untuk pergi meninggalkan dermaga. Setelah semua persiapan selesai perahupun mulai melaju dengan kecepatan konstan, sehingga jarak perahu dengan bibir dermaga bertambah 2 m setiap detiknya"

Jarak perahu dengan dermaga untuk setiap detiknya jika Kita tuliskan dalam bentuk bilangan akan seperti berikut:

$5,7,9,11,13,15,17,...$

Nah susunan bilangan seperti itu disebut dengan barisan. Paham kan maksudnya?

Dari situasi barusan dapat Kita simpulkan bahwa Barisan adalah himpunan bilangan yang diurutkan menurut suatu aturan tertentu, tiap bilangan itu disebut suku-suku barisan, dan dinotasikan $U_n$. Secara umum barisan dapat dituliskan sebagai berikut:

$U_1,U_2,U_3,...,U_{n-1},U_n$

Keterangan:

$U_1=$ suku ke-1 (suku pertama)

$U_2=$ suku ke-2 (suku kedua)

$U_3=$ suku ke-3 (suku ketiga)

dan seterusnya.

Sekarang sudah jelas ya definisinya, kalau masih punyeng coba lihat contoh barisan dibawah ini!

Barisan bilangan asli: $1,2,3,4,5,...$

Barisan bilangan ganjil: $1,3,5,7,9,...$

Barisan bilangan genap $2,4,6,8,10,...$

Coba perhatikan barisan bilangan genap ini.

$2,4,6,8,10,...$

Suku ke-1 (suku pertama) adalah $U_1=2$

Suku ke-2 (suku kedua) adalah $U_2=4$

Suku ke-3 (suku ketiga) adalah $U_3=6$

dan seterusnya.

Sampai sejauih ini Kamu sudah paham tentang barisan, sekarang Kita akan pelajari tentang barisan aritmatika.

Apa yang dimaksud barisan aritmatika?

Barisan aritmatika adalah suatu barisan dengan selisih antara dua suku berurutan selalu tetap (konstan). Nilai selisih tetap tersebut dinamakan beda dan disimbolkan dengan hurup $b$.

Berikut adalah bentuk umum dari rumus barisan aritmatika.

$u_1,u_2,u_3,...,u_{n-1},u_n$

atau

$a,[a+b],[a+2b],...,[a+(n-1)b]$

Akibatnya berlaku rumusan berikut ini.

$b=u_2-u_1=u_3-u_2=...=u_n-u_{n-1}$

Related: Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika

Keterangan:

$b=$ beda atau selisih antar dua suku berurutan.

$a=$ suku pertama.

$u_n=$ suku ke $n$.

$u_{n-1}=$ suku ke $n-1$

$n=$ banyak suku.

Agar makin paham mengenai rumus barisan aritmatika diatas, coba deh lihat contoh barisan aritmatika dibawah ini!

$3,5,7,9,11,13,...$

Kira-kira Kamu tau gak kenapa barisan diatas dinamakan barisan aritmatika?

Yap benar, karena selisih atau beda dari dua suku yang berurutan selalu sama yaitu $2$.

$b=5-3=7-5=...=13-11=2$

So, sekarang Kamu sudah paham yaa mengenai materi barisan aritmatika.

Selanjutnya akan Kita pahami lebih dalam lagi nih materinya, siap?

Masih dari barisan aritmatika yang sama yaitu $3,5,7,9,11,13,...$

Suku ke-5 dari barisan aritmatika diatas nilainya berapa coba? 

Yap benar, jawabannya adalah $11$ atau bisa Kita tuliskan $u_5=11$.

Kalau ditanya berapa nilai suku ke-20, mungkin Kamu masih bisa menjawabnya dengan cara menuliskan dulu suku-sukunya sampai ke 20 suku.

Tapi bagaimana kalau disuruh mencari suku ke 1001?

Pastinya bakalan mencret tuh kalau dituliskan satu per satu, ya kan? hahaha.

Nah maka dari itu, sekarang Kita akan mencari rumus suku ke $n$ dari barisan aritmatika. Sudah siap? Tetap fokus, kencangkan sabuk pengaman. hehehe

Berikut adalah pembuktian rumus suku ke $n$ barisan aritmatika.

Agar memudahkan Kamu dalam memahami pembuktian rumus, Kita akan gunakan kembali contoh barisan aritmatika yang sebelumnya.

$3,5,7,9,11,13,...$

Diatas adalah contoh barisan aritmatika dengan selisih antara dua suku berurutan sama dengan 2 dan suku pertamanya adalah 3, atau dapat dituliskan $b=2$ dan $a=3$.

$u_1=3=3+0=a+0b$

$u_2=5=3+2=a+b$

$u_3=7=3+2+2=a+2b$

$u_4=9=3+2+2+2=a+3b$

$----------------$

$u_n=a+(n-1)b$

Kamu perhatikan deh koefisien $b$!

Selalu berkurang 1 dari sukunya, berarti kalau sukunya sampai suku ke $n$ maka koefisien $b$ menjadi $(n-1)$.

Related: Rumus Barisan Geometri dan Pembuktiannya

Nah, jadi inilah rumus suku ke $n$ barisan aritmatika

$\boxed{{\displaystyle u_n=a+(n-1)b}}$

Kita udah punya nih rumus untuk mencari suku tertentu barisan aritmatika, sekarang Kita coba cari suku ke 1001 dari barisan $3,5,7,9,11,13,...$

Jawab:

Diketahui $a=3$, $b=2$, dan $n=1001$.

$u_n=a+(n-1)b$

$u_{1001}=3+(1001-1)2$

$u_{1001}=3+(1000)2$

$u_{1001}=3+2000$

$u_{1001}=2003$

Jadi suku ke 1001 nilainya adalah 2003.

Kalau gak percaya, coba aja Kamu itung sendiri sampai suku ke 1001 secara manual. Pastinya bakalan puyeng tuh. hahaha

Biar lebih ngerti lagi, perhatikan contoh-contoh lainnya dibawah ini.

1. Dari barisan berikut manakah yang merupakan barisan aritmatika?

a). $-2,1,4,7,10,...$

b). $2,7,12,17,...$

c). $1,3,8,12,16,...$

Jawab:

a). Merupakan barisan aritmatika, sebab selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu $b=3$

b). Merupakan barisan aritmatika, sebab selisih antara dua suku berurutan selalu sama yaitu $b=5$

c). Bukan merupakan barisan aritmatika, sebab selisih antara dua suku berurutan berbeda-beda.

2. Tentukan suku ke-30 dari barisan $-3,1,5,9,13,...$

Jawab:

Diketahui $a=-3,b=5-1=4$, dan $n=30$.

$u_n=a+(n-1)b$

$u_{30}=-3+(30-1)4$

$u_{30}=-3+(29)4$

$u_{30}=-3+116$

$u_{30}=113$

3. Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan aritmatika berurut-turut adalah 4 dan 18. Tentukan nilai suku ke-10!

Related: Aplikasi Deret Geometri Tak Hingga

Jawab:

Ingat $u_n=a+(n-1)b$

Suku ke-3 adalah 4

$4=a+(n-1)b$

$4=a+(3-1)b$

$4=a+2b$ . . . (1)

Suku ke-5 adalah 18

$18=a+(n-1)b$

$18=a+(5-1)b$

$18=a+4b$ . . .(2)

Gunakan konsep SPLDV pada persamaan (2) dan (1)

$18=a+4b$

$4=a+2b$

Setelah dikurangkan hasilnya seperti dibawah ini.

$14=2b$

$\frac{14}{2}=b$

$7=b$

$4=a+2b$

$4=a+2(7)$

$4=a+14$

$4-14=a$

$-10=a$

$u_n=a+(n-1)b$

$u_{10}=-10+(10-1)7$

$u_{10}=-10+(9)7$

$u_{10}=-10+63$

$u_{10}=53$

4. Tentukan banyak bilangan dari 1 sampai 350 yang habis dibagi 4!

Jawab:

Kita tuliskan dulu nih bilangan-bilangan yang habis dibagi 4 dari 1 sampai 350.

Related: Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

$4,8,12,16,...,348$

$a=4,b=4$

$u_n=a+(n-1)b$

$348=4+(n-1)4$

$348=4+4n-4$

$348=4n$

${\displaystyle \frac{348}{4}=n}$

$87=n$

5. Jika suku-suku $2k+1,k+6,3k+5$ merupakan tiga suku pertama barisan aritmatika tentukanlah nilai suku ke-21!

Jawab:

$u_1=2k+1,u_2=k+6$,

$u_3=3k+5$, dan $n=21$

$b=u_3-u_2=u_2-u_1$

$(3k+5)-(k+6)=(k+6)-(2k+1)$

$3k+5-k-6=k+6-2k-1$

$3k-k-k+2k=6-1-5+6$

$3k=6$

${\displaystyle k=\frac{6}{3}}$

$k=2$

Sehingga didapatkan

$2k+1,k+6,3k+5=5,8,11$

$u_n=a+(n-1)b$

$u_{21}=5+(21-1)3$

$u_{21}=5+(20)3$

$u_{21}=5+60$

$u_{21}=65$

Itulah tadi pembahasan mengenai barisan aritmatika dan contoh soal barisan aritmatika SMA beserta jawabannya. Berikutnya kita akan belajar suku tengah barisan aritmatika. Oh ya jika tulisan ini bermanfaat silahkan bagikan dan beri nilai yang bagus yaa.