Soal Turunan Fungsi Trigonometri - Dokmat

Soal turunan trigonometri adalah pertanyaan atau masalah yang meminta kita untuk menghitung turunan dari fungsi trigonometri. 

Pada tulisan ini kamu akan belajar mencari solusi atau memecahkan soal turunan trigonometri. Jika kamu konsentrasi, pasti mudah banget memahaminya.

Contoh soal ini memerlukan rumus dasar untuk menyelesaikannya. Rumus dasar tersebut sudah Pak Anwar bahas secara lengkap di tulisan sebelumnya yang berjudul pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri.

1. Contoh Soal Turunan Trigonometri Menggunakan Rumus Dasar

Berikut ini adalah rumus dasar turunan fungsi trigonometri yang sudah kita buktikan pada tulisan sebelumnya.

$y=\sin x\to y^{\prime }=\cos x$

$y=\cos x\to y^{\prime }=-\sin x$

$y=\tan x\to y^{\prime }={\sec }^{2}x$

$y=\cot x\to y^{\prime }=-{\csc }^{2}x$

$y=\sec x\to y^{\prime }=\sec x.\tan x$

$y=\csc x\to y^{\prime }=-\csc x.\cot x$

Nah, inilah dia contoh soal turunan trigonometri yang kita akan bahas bersam-sama. Simak baik-baik yaa!

Tentukan turunan dari fungsi-fungsi berikut ini!

1). $y=2\sin x$

2). $y=3\sin x+\tan x$

3). $y=2\cos x+5\sin x$

4). $y=3x\cos x$

5). $y=\sin x\cos x$

Jawaban Nomor 1

Dengan menggunakan "aturan hasil kali" pada aturan turunan fungsi aljabar, kita bisa mengabaikan konstanta yang ada di depan.

$\begin{array}{rl}y& =2\sin x\\ y^{\prime }& =2\cos x\end{array}$

Jawaban Nomor 2

$\begin{array}{rl}y& =3\sin x+\tan x\\ y^{\prime }& =3\cos x+{\sec }^{2}x\end{array}$

Jawaban Nomor 3

$\begin{array}{rl}y& =2\cos x+5\sin x\\ y^{\prime }& =2(-\sin x)+5\cos x\\ & =-2\sin x+5\cos x\end{array}$

Jawaban Nomor 4

Kita akan gunakan aturan hasil kali pada turunan, yaitu $f^{\prime }(x)=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$

$f(x)=3x\cos x$

$u=3x\to u^{\prime }=3$

$v=\cos x\to v^{\prime }=-\sin x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =3\cos x+3x(-\sin x)\\ & =3\cos x-3x\sin x\end{array}$

Jawaban Nomor 5

$y=\sin x\cos x$

$u=\sin x\to u^{\prime }=\cos x$

$v=\cos x\to v^{\prime }=-\sin x$

$\begin{array}{rl}{f}^{\prime }(x)& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ & =\cos x\cos x+\sin x(-\sin x)\\ & ={\cos }^{2}x-{\sin }^{2}x\\ & =\cos 2x\end{array}$

Gimana, mudah banget kan?

Berikutnya kita akan pelajari contoh soal turunan trigonometri menggunakan rumus pengembangan.

2. Contoh Soal Turunan Fungsi Trigonometri Menggunakan Rumus Pengembangan I

Rumus ini merupakan pengembangan dari rumus dasar turunan trigonometri yang menggunakan aturan rantai, jadi sebaiknya kamu pahami dulu mengenai aturan rantai fungsi aljabar.

Berikut ini adalah rumus pengembangan I turunan fungsi trigonometri.

$y=\sin u\to y^{\prime }=u^{\prime }.\cos u$

$y=\cos u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.\sin u$

$y=\tan u\to y^{\prime }=u^{\prime }.{\sec }^{2}u$

$y=\cot u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.{\csc }^{2}u$

$y=\sec u\to y^{\prime }=u^{\prime }.\sec u.\tan u$

$y=\csc u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.\csc u.\cot u$

Pak Anwar akan kasih satu contoh soal turunan fungsi trigonometri menggunakan aturan rantai, agar kamu bisa memahami maksud rumus pengembangan I diatas.

Tentukan turunan dari fungsi $y=\sin (3x)$!

Jawab:

Kita akan mencari $y^{\prime }$ atau $\frac{dy}{dx}$ (turunan y terhadap x).

Misalkan $u=3x$ maka $\frac{du}{dx}=3$

Karena $3x$ dimisalkan menjadi $u$ maka fungsinya menjadi $y=\sin u$. Sehingga turunannya adalah $\frac{dy}{du}=\cos u$.

${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{du}.\frac{du}{dx}\\ y^{\prime }& =\cos u.3\\ y^{\prime }& =3.\cos u\\ y^{\prime }& =3\cos (3x)\end{array}}$

Itulah jawabannya.

Sekarang perhatikan yang Pak Anwar kasih warna merah pada proses diatas!

$3$ merupakan turunan dari $u=3x$, artinya $u^{\prime }=3$

Jadi kita bisa menuliskan rumus umumnya, turunan dari $y=\sin u$ adalah $y^{\prime }=u^{\prime }\cos u$. Sama kan dengan rumus pengembangan I diatas?

Itulah alasan kenapa rumus pengembangan ini berasal dari aturan rantai.

Note: rumus pengembangan I ini sama halnya dengan rumus dasar turunan fungsi trigonometri, bedanya hanya ditambahkan $u^{\prime }$ di awalnya.

Nah sekarang kita akan coba jawab pertanyaan-pertanyaan yang ada dibawah ini menggunakan rumus pengembangan I. Inilah dia contoh soal turunan fungsi trigonometri dan pembahasannya.

Related: Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut!

1). $y=\sin (3x)$

2). $y=\tan (2x-5)$

3). $y=\cos (5x^3+2x-8)$

Jawaban Nomor 1

$y=\sin (3x)$

Misalkan $u=3x$ maka $u^{\prime }=3$

$y^{\prime }=u^{\prime }.\cos u$

$y^{\prime }=3.\cos (3x)$

$y^{\prime }=3\cos (3x)$

Sama kan dengan menggunakan aturan rantai?

Bedanya, cara ini lebih simpel. Ya iyalah, namanya juga cara cepat.

Jawaban Nomor 2

$y=\tan (2x-5)$

Misalkan $u=2x-5$ maka $u^{\prime }=2$

$y^{\prime }=u^{\prime }.{\sec }^{2}u$

$y^{\prime }=2.{\sec }^2(2x-5)$

$y^{\prime }=2{\sec }^2(2x-5)$

Jawaban Nomor 3

$y=\cos (5x^3+2x-8)$

Misalkan $u=5x^3+2x-8$ maka $u^{\prime }=15x^2+2$

$y^{\prime }=-u^{\prime }.\sin u$

$y^{\prime }=-(15x^2+2).\sin (5x^3+2x-8)$

$y^{\prime }=(-15x^2-2)\sin (5x^3+2x-8)$

3. Contoh Soal Turunan Trigonometri Menggunakan Rumus Pengembangan II

Turunan trigonometri dengan rumus pengembangan II ini cukup kompleks bentuk rumusnya, akan tetapi masih mudah untuk di ingat karena sedikit mirip dengan bentuk rumus-rumus sebelumnya.

$y={\sin }^{n}u\to y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\sin }^{n-1}u.\cos u$

$y={\cos }^{n}u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.n.{\cos }^{n-1}u.\sin u$

$y={\tan }^{n}u\to y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\tan }^{n-1}u.{\sec }^{2}u$

$y={\cot }^{n}u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.n.{\cot }^{n-1}u.{\csc }^{2}x$

$y={\sec }^{n}u\to y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\sec }^{n-1}u.\sec u.\tan u$

$y={\csc }^{n}u\to y^{\prime }=-u^{\prime }.n.{\csc }^{n-1}u.\csc u.\cot u$

Sebelum membahas lebih jauh mengenai soal turunan trigonometri, Pak Anwar akan kasih tips dulu mengenai cara menghafal rumus turunan trigonometri pengembangan II ini.

Kita coba bandingkan rumus pengembangan I dan pengembangan II. Pak Anwar ambil contoh turunan untuk sinus.

Pengembangan I

$y=\sin u\to y^{\prime }=u^{\prime }.\cos u$

Pengembangan II

$y={\sin }^{n}u\to y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\sin }^{n-1}u.\cos u$

Bisa kalian lihat kan perbedaannya?

$u^{\prime }$ dan $\cos u$ tetap, yang bertambah hanya $n.{\sin }^{n-1}u$. Begitupun untuk rumus turunan trigonometri lainnya.

Oke, itulah sedikit tips untuk mengingat rumusnya versi Pak Anwar.

Dari mana rumus pengembangan II turunan fungsi trigonometri ini berasal?

Sama halnya dengan dengan rumus pengembangan I, rumus pengembangan II juga berproses dari aturan rantai. Hanya saja aturan rantainya lebih kompleks.

Agar kamu paham, Pak Anwar akan jelasin dulu prosesnya dengan menggunakan aturan rantai. Setelah itu, baru Pak Anwar akan bahas contoh soal turunan trigonometri.

Diketahui $y={\sin }^3(2x^5-7x)$, tentukanlah turunan pertamanya!

Jawab:

Turunan pertama itu $y^{\prime }$ atau $\frac{dy}{dx}$

Misalkan $u=2x^5-7x$ maka $\frac{du}{dx}=10x^4-7$

Misalkan $v=\sin u$ maka $\frac{dv}{du}=\cos u$

Sehingga $y=v^3$, maka $\frac{dy}{dv}=3v^2$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{dy}{dx}& =\frac{dy}{dv}.\frac{dv}{du}.\frac{du}{dx}\\ y^{\prime }& =3v^2.\cos u.(10x^4-7)\\ y^{\prime }& =3{\sin }^{2}u.\cos u.(10x^4-7)\\ y^{\prime }& =3{\sin }^2(2x^5-7x).\cos (2x^5-7x).(10x^4-7)\\ y^{\prime }& =(10x^4-7).3.{\sin }^2(2x^5-7x).\cos (2x^5-7x)\\ y^{\prime }& =(30x^4-21).{\sin }^2(2x^5-7x).\cos (2x^5-7x)\end{array}}$

Perhatikan yang berwarna merah pada proses diatas!

$(10x^4-7)$ adalah $u^{\prime }$

$3$ adalah $n$

${\sin }^2$ adalah ${\sin }^{n-1}$

$(2x^5-7x)$ adalah $u$

Jika semuanya diganti dengan simbol-simbol diatas, maka $y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\sin }^{n-1}u.\cos u$. Nah bentuk inilah yang disebut turunan dari fungsi trigonometri $y={\sin }^{n}u$.

Sekarang kalian udah paham kan darimana rumus pengembangan II itu berasal?

Inilah contoh soal turunan trigonometri menggunakan rumus cepat. Simak baik-baik yaa!

1). $y={\sin }^{2}x$

2). ${\cot }^3(x^2-x+7)$

Related: Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri

Jawaban Nomor 1

$y={\sin }^{2}x$

$n=2$, $u=x$, dan $u^{\prime }=1$.

$y^{\prime }=u^{\prime }.n.{\sin }^{n-1}u.\cos u$

$y^{\prime }=1.2.{\sin }^{2-1}x.\cos x$

$y^{\prime }=2.{\sin }^{1}x.\cos x$

$y^{\prime }=2\sin x\cos x$

$y^{\prime }=\sin 2x$

Jawaban Nomor 2

${\cot }^3(x^2-x+7)$

$n=3$, $u=x^2-x+7$, dan $u^{\prime }=2x-1$.

$y^{\prime }=-u^{\prime }.n.{\cot }^{n-1}u.{\csc }^{2}u$

$y^{\prime }=-(2x-1).3.{\cot }^{3-1}u.{\csc }^{2}u$

$y^{\prime }=-(6x-3).{\cot }^{2}u.{\csc }^{2}u$

$y^{\prime }=(3-6x).{\cot }^2(x^2-x+7).{\csc }^2(x^2-x+7)$

Itulah pembahasan turunan fungsi trigonometri mulai dari pembuktian rumus, contoh soal dan pembahasannya. Nah untuk mengecek pemahaman kamu, sudah Pak Anwar siapin nih soal-soal latihan yang bisa kamu kerjakan.

4. Latihan: Soal Turunan Trigonometri

Berikut adalah beberapa soal turunan trigonometri yang bisa kamu kerjakan secara mandiri ataupun diskusi dengan teman.

Tentukan turunan pertama dari fungsi-fungsi berikut!

1). $y=2x+\cos x$

2). $f(x)=4x^2+\cot x$

3). $y=2\sin (3x)$

4). $y=3\cos (4x)$

5). $f(x)=3x^2+\sin (5x)-4\cos (2x)$

6). $f(x)=2x\sin x$

7). $f(x)=3x^2\cos (2x)$

8). $y=\sin (2x)\cos (3x)$

9). ${\displaystyle y=\frac{3x^2}{\cos x}}$

10). ${\displaystyle y=\frac{\cos 3x}{\cos 2x}}$

11). $y=\sin x\cos x$

12). $y={\csc }^5(x^4+5)$

13). $y={\cos }^{4}x$

14). $y=5\sin x\cos x$

15). $y=\sqrt{\sin x}$

16). Jika $f(x)=\sin x+\cos x+\tan x$, tentukanlah $f^{\prime }(0)$!

Akhirnya selesai juga nulis artikel ini, pegel banget nulisnya. Semoga tulisan ini bermanfaat untuk banyak orang, khusunya kamu yang sekarang sedang membaca tulisan ini.

Itulah penjelasan lengkap contoh soal turunan fungsi trigonometri. Bagikan tulisan ini agar semakin banyak orang yang paham mengenai materi turunan fungsi trigonometri ini!