Rumus Suku Tengah Barisan Aritmatika - Dokmat

Kali ini Kita akan pelajari materi barisan aritmatika secara lebih mendalam lagi, kira-kira sub materinya apa? Yap benar, materinya yaitu suku tengah barisan aritmatika.

Dibawah akan dijelaskan contoh soal suku tengah barisan aritmatika beserta jawabannya, dengan contoh-contoh tersebut pastinya Kamu gak akan bingung lagi.

Suku tengah barisan aritmatika itu apa sih?

Misalkan ada barisan aritmatika dengan beda atau selisih antara dua suku berurutan adalah 3, contohnya $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$. Nah suku tengah dari barisan tersebut adalah 11, sebab berada di tengah-tengah suku lainnya.

Suku tengah itu selalu berada di tengah dan membagi suku pada barisan tersebut sama banyak. Pada contoh diatas, suku tengah membagi barisan menjadi dua bagian yaitu disebelah kiri dan kanan suku tengah menjadi tiga suku yaitu $2, 5, 8$ dan $14, 17, 20$.

Suatu barisan aritmatika mempunyai suku tengah jika jumlah sukunya ganjil, jika jumlah sukunya genap tidak ada suku tengahnya. Contoh, $2, 5, 8, 11$ tidak mempunyai suku tengah.

Gimana, paham kan?

Kalau jumlah sukunya sedikit, mungkin Kamu bisa menuliskannya manual dan bisa langsung kelihatan suku tengahnya. Tapi bagaimana kalau jumlah sukunya banyak? Pasti repot kan?

Eits jangan frustasi dulu, karena suku tengah itu ada rumusnya. Sebelum menggunakan rumus suku tengah barisan aritmatika sebaiknya kita buktikan dulu rumus tersebut. Jangan sampai Kita menggunakan rumus tapi gak tau asal-usulnya dari mana.

Nah berikut adalah pembuktian rumus suku tengah barisan aritmatika, simak baik-baik.

Dibawah ini adalah rumus umum barisan aritmatika dengan suku pertama $a$ dan selisih atau beda $b$.

Misalkan 3 Suku Pertama

$a, (a+b), (a+2b)$

Dari barisan tersebut, Kita bisa lihat kalau suku tengahnya adalah $U_t = a+b$. 

Sekarang lihatlah suku awal dan suku akhirnya, jika suku awal dan suku akhir di jumlahkan kemudian dibagi dengan $2$ maka hasilnya akan menjadi suku tengah.

$\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{a+(a+2b)}{2}$

$\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{a+a+2b}{2}$

$\frac{U_1 + U_3}{2} = \frac{2a+2b}{2}$

$\frac{U_1 + U_3}{2} = a+b$

Misalkan 5 Suku Pertama

$a, (a+b), (a+2b), (a+3b), (a+4b)$

Suku tengahnya $U_t = a+2b$

Suku tengah ini bisa didapatkan dari penjumlahan suku awal dan suku akhir kemudian dibagi $2$.

$\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{a+(a+4b)}{2}$

$\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{a+a+4b}{2}$

$\frac{U_1 + U_5}{2} = \frac{2a+4b}{2}$

$\frac{U_1 + U_5}{2} = a+2b$

Dari sini dapat Kita simpulkan bahwa nilai suku tengah barisan aritmatika adalah bisa didapatkan dengan cara menjumlahkan suku pertama dan suku terakhir kemudian dibagi $2$

$\boxed{\displaystyle U_t = \frac{1}{2} \left( a + U_n \right)}$

Contoh:

Diketahui barisan aritmatika $3, 7, 11, . . . , 99$. Berapakah nilai suku tengah barisan terebut?

Jawab:

Diketahui $a=3$, $b=4$, dan $u_n =99$

$U_t = \frac{1}{2} (a + u_n) = \frac{a + u_n}{2}$

$U_t = \frac{3 + 99}{2}$

$U_t = \frac{102}{2}$

$U_t = 51$

Gimana, mudah banget kan untuk menentukan suku tengahnya?

Nah sekarang muncul pertanyaan lagi, suku tengah tersebut  berada pada suku ke berapa?

Bagaimana cara menjawabnya? Kita akan mencari rumusnya bersama-sama.

Nah biar lebih mudah, Kita akan gunakan kembali contoh barisan aritmatika yang sebelumnya, yaitu $2, 5, 8, 11, 14, 17, 20$

Kita tahu bahwa banyaknya suku barisan tersebut ada $7$, suku tengahnya adalah $11$, dan suku tengah tersebut terletak pada suku ke $4$.

Cara menentukan letak suku tengah bisa dengan menambahkan $1$ pada banyaknya suku kemudian dibagi dengan $2$.

$t = \frac {7+1}{2} = \frac {8}{2} = 4$

Sama kan dengan kenyataannya?

Jadi dapat kita simpulkan bahwa rumus letak suku tengah itu adalah $t = \frac{n+1}{2}$ atau dapat ditulis juga sebagai berikut:

$\boxed{\displaystyle t = \frac{1}{2} \left( n + 1 \right)}$

Sekarang coba selesaikan lagi pertanyaan yang tertunda sebelumnya, $U_t = 51$ itu terletak di suku ke berapa?

Dikarenakan belum tau banyaknya suku, Kita cari tau dulu nih jumlah sukunya itu ada berapa sih. Cara mencarinya bisa menggunakan rumus suku ke-n. Kita tau kan suku terakhirnya itu $99$, berarti Kita bisa mencari tau $99$ itu berada di suku ke berapa.

$u_n = a + (n-1)b$

$99 = 3 + (n-1)4$

$99 = 3 + 4n + -4$

$99 = 4n - 1$

$99 + 1 = 4n$

$100 = 4n$

$\frac {100}{4} = n$

$25 = n$

Jadi banyak sukunya ada 25 suku yaa. Sekarang cari letak suku tengahnya.

$t = \frac{n+1}{2}$

$t = \frac{25+1}{2}$

$t = \frac{26}{2}$

$t = 13$

Kesimpulan akhirnya yaitu suku tengahnya adalah $51$ dan terletak pada suku ke $13$.

Biar lebih paham lagi, berikut adalah contoh soal suku tengah barisan aritmatika beserta pembahasannya.

Diketahui barisan aritmatika $2, 7, 12, 17, . . . , 222$, tentukanlah!

a) Nilai suku tengah

b) Letak suku tengah

Jawab:

Diketahui $a=2, b=5, u_n=222$

a) $U_t = \frac{a+u_n}{2}$

$U_t = \frac{2+222}{2}$

$U_t = \frac{224}{2}$

$U_t = 112$

Jadi nilai suku tengahnya adalah $112$

b) Nah untuk menentukan posisi suku tengah ada pada suku keberapa, Kita harus cari tau dulu banyaknya suku ada berapa.

$u_n = a+(n-1)b$

$222 = 2+(n-1)5$

$222 = 2+5n-5$

$222-2+5 = 5n$

$225 = 5n$

$\frac{225}{5} = n$

$45 = n$

$t = \frac{n+1}{2}$

$t = \frac{45+1}{2}$

$t = \frac{46}{2}$

$t = 23$

Jadi suku tengahnya terletak pada suku ke $23$.

Itu aja dulu untuk pembahasan materi suku tengah, semoga tulisan ini bermanfaat. Berikutnya akan kita pelajari sisipan barisan aritmatika, jangan lupa untuk share tulisan ini dan berikan penilaian Kamu untuk tulisan ini.