Rumus Sisipan Barisan Aritmatika - Dokmat

Pada tulisan ini Saya akan share mengenai pembuktian rumus sisipan barisan aritmatika. Di situs lain jarang sekali rumus ini dibuktikan, kebanyakan dari mereka langsung memberikan formulanya. Tapi disini Saya akan berikan pembuktian sederhananya, biar Kamu makin cerdas dan gak asal lagi menggunakan rumus. Siap? Let's go!

Sebenarnya, apa sih yang dimaksud sisipan barisan aritmatika itu?

Jadi gini, misalkan kita punya sebuah barisan aritmatika $u_1,u_2,u_3$. Diantara dua sukunya disisipkan beberapa bilangan, sebagai contoh misalnya 2 buah bilangan aja. Maka akan terbentuk barisan aritmatika baru dengan beda yang baru juga.

$u_1,x,y,u_2,p,q,u_3$

Biar makin paham lagi, coba perhatikan contoh dibawah ini!

Diketahui barisan aritmatika dengan banyak sukunya $n=3$ dan bedanya $b=8$, yaitu $3,11,19$. Barisan tersebut Kita sisipkan misalnya 3 buah bilangan, sehingga barisannya akan membentuk barisan baru seperti dibawah.

$3,5,7,9,11,13,15,17,19$.

Barisan baru ini banyak sukunya ada $n^{\prime }=9$ dan bedanya $b^{\prime }=2$

Jadi udah paham yaa maksudnya sisipan barisan aritmatika itu kaya gimana. Intinya, sisipan barisan aritmatika adalah barisan aritmatika baru yang didapatkan dari barisan aritmatika lama dengan cara menyisipkan $k$ bilangan diantara dua suku barisan aritmatika lama.

Nah sekarang yang akan Kita pelajari itu bagaimana menentukan rumus beda baru dan banyak suku baru pada sisipan barisan aritmatika. Kalau banyak sukunya cuman 3 atau 4, Kita bisa mencarinya dengan manual. Tapi bagaimana kalau banyak sukunya 100? Pastinya puyeng kan?

Baik, Kita mulai pencarian rumusnya. Saya coba dari yang sederhana dulu, misalkan diantara dua suku yaitu $u_1,u_2$ disisipkan 3 buah bilangan, maka akan terbentuk barisan baru dengan beda yang baru.

$u_1,(u_1+b^{\prime }),(u_1+2b^{\prime }),(u_1+3b^{\prime }),u_2$

Coba perhatikan!

Setiap suku barisan aritmatika (kecuali suku pertama) merupakan penjumlahan suku sebelumnya dengan beda baru. Berarti jika disisipkan $k$ bilangan maka akan menjadi seperti dibawah ini.

$u_1,(u_1+b^{\prime }),(u_1+2b^{\prime }),$ $(u_1+3b^{\prime }),$ $...,(u_1+k{b}^{\prime }),u_2$

Dari sini Kita dapatkan rumusan seperti berikut.

$(u_1+k{b}^{\prime })+b^{\prime }=u_2$

$u_1+k{b}^{\prime }+b^{\prime }=u_2$

$u_1+(k{b}^{\prime }+b^{\prime })=u_2$

$u_1+b^{\prime }(k+1)=u_2$

$b^{\prime }(k+1)=u_2-u_1$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{u_2-u_1}{k+1}}$

Kita tahu bahwa $u_2-u_1=b$, jadi rumus akhirnya adalah seperti dibawah.

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{k+1}}$

Jadi kesimpulannya, rumus beda dari barisan aritmatika baru adalah seperti ini.

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{k+1}}}}$

Related: Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

Keterangan:

$b^{\prime }=$ beda baru

$b=$ beda lama

$k=$ banyak sisipan

Sekarang Kita coba pakai rumus ini untuk menjawab contoh soal sebelumnya yaitu barisan aritmatika $3,11,19$ yang disisipkan 3 buah bilangan.

Jawab:

Diketahui $b=8$ dan $k=3$.

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{k+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{8}{3+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{8}{4}}$

$b^{\prime }=2$

terbukti

Oke, satu rumus selesai. Selanjutnya adalah rumusan banyak suku untuk barisan baru. Agar berbeda, Saya memisalkan suku-suku baru dengan sebuah simbol $\mathrm{△}$. Karena yang kita butuhkan hanya banyaknya suku, bukan nilai sukunya.

Percobaan 1

$n=2$ dan $k=3$

$u_1,\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_2$

$n^{\prime }=3+2=5$

$n^{\prime }=k+n$

Percobaan 2

$n=3$ dan $k=3$

$u_1,\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_2,\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_3$

$n^{\prime }=2.3+3=9$

$n^{\prime }=2k+n$

Related: Deret Geometri dan Contoh Soal

Percobaan 3

$n=4$ dan $k=3$

$u_1,\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_2,$ $\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_3,$ $\mathrm{△},\mathrm{△},\mathrm{△},u_4$

$n^{\prime }=3.3+4=13$

$n^{\prime }=3k+n$

Percobaan 4

$n=4$ dan $k=2$

$u_1,\mathrm{△},\mathrm{△},u_2,\mathrm{△},\mathrm{△},u_3,$ $\mathrm{△},\mathrm{△},u_4$

$n^{\prime }=3.2+4=10$

$n^{\prime }=3k+n$

Dari percobaan 3 dan percobaan 4, nilai $k$ tidak mempengaruhi bentuk rumus. Artinya berapapun bilangan yang disisipkan, bentuk rumusnya gak berubah. Bentuk rumus hanya berubah jika $n$ berubah.

Coba perhatikan deh! Koefisien $k$ selalu berkurang satu dari $n$, atau bisa kita tuliskan $(n-1)$.

$n=2\to n^{\prime }=k+n$

$n=3\to n^{\prime }=2k+n$

$n=4\to n^{\prime }=3k+n$

$n=n\to n^{\prime }=(n-1)k+n$

Jadi rumus banyaknya suku barisan aritmatika baru adalah sebagai berikut:

$\boxed{{\displaystyle n^{\prime }=(n-1)k+n}}$

Keterangan:

$n^{\prime }=$ banyak suku baru

$n=$ banyak suku lama

$k=$ banyak sisipan

Berikut adalah contoh soal sisipan barisan aritmatika, perhatikan dengan baik!

Related: Sisipan Barisan Geometri dan Contoh Soal

Contoh 1

Diantara bilangan 20 dan 116 disisipkan 11 bilangan, sehingga terjadi sebuah barisan aritmatika baru. Tentukanlah:

a. Beda barisan aritmatika baru

b. Suku tengah barisan aritmatika baru dan letaknya

Jawab:

a. Diketahui $b=116-20=96$ dan $k=11$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{k+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{96}{11+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{96}{12}}$

$b^{\prime }=8$

Jadi, beda pada barisan aritmatika baru adalah 8.

b. Diketahui $a=20,u_n=u_n^{\prime }=116$, dan $n=2$. 

Kita cari dulu $n^{\prime }$, sebab akan dibutuhkan saat mencari letak suku tengah barisan aritmatika baru.

$n^{\prime }=(n-1)k+n$

$n^{\prime }=(2-1).11+2$

$n^{\prime }=11+2$

$n^{\prime }=13$

${\displaystyle u_t=\frac{a+u_n^{\prime }}{2}}$

${\displaystyle u_t=\frac{20+116}{2}}$

${\displaystyle u_t=\frac{136}{2}}$

$u_t=68$

Related: Contoh Soal Suku Tengah Barisan Geometri

${\displaystyle t=\frac{n^{\prime }+1}{2}}$

${\displaystyle t=\frac{13+1}{2}}$

${\displaystyle t=\frac{14}{2}}$

$t=7$

Jadi, suku tengah pada barisan aritmatika baru adalah $68$ dan letaknya pada suku ke $7$.

Contoh 2

Diberikan barisan aritmatika $2,18,34,...$

Diatara dua suku yang berurutan disisipkan 3 bilangan sehingga terbentuk barisan aritmatika yang baru. Tentukanlah:

a. Beda pada barisan aritmatika baru.

b. Suku ke 21 dari barisan aritmatika baru.

Jawab:

a. Diketahui $b=18-2=16$ dan $k=3$.

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{b}{k+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{16}{3+1}}$

${\displaystyle b^{\prime }=\frac{16}{4}}$

$b^{\prime }=4$

b. Diketahui $a=a^{\prime }=2$, $b^{\prime }=4$, dan $n^{\prime }=21$.

$u_n^{\prime }=a^{\prime }+(n^{\prime }-1)b^{\prime }$

$u_{21}^{\prime }=2+(21-1)4$

$u_{21}^{\prime }=2+(20)4$

$u_{21}^{\prime }=2+80$

$u_{21}^{\prime }=82$

Itulah pembahasan lengkap mengenai pembuktian rumus dan contoh soal sisipan barisan aritmatika. Jika bermanfaat share tulisan ini!