Contoh Soal Suku Tengah Barisan Geometri - Dokmat

Pada tulisan ini akan diberikan contoh soal suku tengah barisan geometri. Sebelum lanjut, tentunya Kamu harus tau dulu apa sih pengertian suku tengah barisan geometri?

Suku tengah barisan geometri adalah suku yang berada di tengah dari barisan geometri yang sukunya berjumlah ganjil. Jadi suatu barisan geometri akan mempunyai suku tengah jika banyak sukunya merupakan bilangan ganjil.

Agar lebih paham coba perhatikan barisan-barisan geometri berikut ini!

1, 2, 4

Banyak sukunya 3, nilai suku tengahnya 2.

1, 2, 4, 8, 16

Banyak sukunya 5, nilai suku tengahnya 4.

1, 2, 4, 8

Tidak mempunyai suku tengah.

Jika banyak sukunya sedikit, Kita bisa langsung mengetahuinya. Tapi bagaimana jika sukunya banyak?

Misalkan seperti ini.

Diketahui barisan geometri $\frac{1}{3}, 1, 3, . . . , 243$

Berapakah nilai suku tengahnya dan terletak pada suku ke berapakah suku tengah tersebut?

Nah lho, gimana tuh cara jawabnya?

Agar paham, sekarang Saya akan ajak Kamu untuk melakukan eksperimen terlebih dahulu. Perhatikan baik-baik!

Kita ambil contoh barisan geometri $1, 2, 4$ suku tengahnya 2.

Kita lakukan eksperimen.

Suku tengah $= \sqrt{1 \times 4} = \sqrt{4} = 2$  (benar)

Barisan geometri $1, 2, 4, 8, 16$ suku tengahnya 4.

Kita lakukan eksperimen lagi.

Suku tengah $= \sqrt{1 \times 16} = \sqrt{16} = 4$  (benar)

Biar lebih yakin, Kita coba lagi menggunakan barisan geometri lainnya.

Barisan geometri $16, 4, 1, \frac{1}{4}, \frac{1}{16}$ suku tengahnya 1.

Eksperimen

Suku tengah $= \sqrt{16 \times \frac{1}{16}} = \sqrt{1} = 1$  (benar)

Dari eksperimen ini dapat Kita tarik kesimpulan bahwa rumus suku tengah barisan geometri adalah akar dari perkalian suku pertama dan suku terakhir, dengan syarat banyak sukunya harus ganjil. Secara matematika dapat disimbolkan sebagai berikut:

$\boxed{U_t = \sqrt{a \times U_n}}$

Keterangan:

$U_t =$ suku tengah

$a =$ suku pertama

$U_n =$ suku terakhir

Sekarang akan Kita gunakan rumus suku tengah barisan geometri ini untuk menjawab soal yang tadi.

$U_t = \sqrt{a . U_n}$

$U_t = \sqrt{\frac{1}{3} . 243}$

$U_t = \sqrt{81}$

$U_t =  9$

Pertanyaan selanjutnya $U_t = 9$ terletak pada suku ke berapa?

Rumusnya sama seperti yang sudah Saya jelaskan ditulisan sebelumnya, yaitu pada pembahasan suku tengah barisan aritmatika. Rumus untuk mencarinya adalah sebagai berikut:

$\boxed{\displaystyle t = \frac{1}{2}(n+1)}$

Keterangan:

$t =$ posisi suku tengah

$n =$ banyak suku

Kita jawab pertanyaan yang tadi dengan menggunakan rumusan ini. Tapi untuk menggunakan rumus tersebut, Kita harus mencari tau n terlebih dahulu.

$U_n = ar^{n-1}$

$243 = \frac{1}{3} . 3^{n-1}$

$243 \times 3 = 3^{n-1}$

$729 =  \frac{3^{n}}{3}$

$729 \times 3 =  3^{n}$

$2187 = 3^{n}$

$3^{7} = 3^{n}$

Jadi $n = 7$

Nah sekarang Kita cari letak suku tengah barisan geometri diatas ada dimana.

$t = \frac{1}{2} (n+1)$

$t = \frac{1}{2} (7+1)$

$t = \frac{1}{2} (8)$

$t = 4$

Jadi $U_t = 9$ terletak pada suku ke 4.

Gimana paham kan dengan penjelasannya?

Nah berikut ini adalah contoh soal suku tengah barisan geometri beserta jawabannya. Simak baik-baik yaa.

1). Berapakah nilai suku tengah dari barisan geometri $2, 6, 18, . . . , 1458$?

Jawab:

$U_t = \sqrt{a . U_n}$

$U_t = \sqrt{2 . 1458}$

$U_t = \sqrt{2916}$

$U_t = 54$

2). Berapakah nilai suku tengah dari barisan geometri $(n+1), n, (n-3)$?

Jawab:

Ingat rumus $r = \frac{U_n}{U_{n-1}}$

$r = r$

$\frac{U_2}{U_1} = \frac{U_3}{U_2}$

$(U_2)^{2} = U_3 . U_1$

$n^{2} = (n-3) . (n+1)$

$n^{2} = n^{2} +n-3n-3$

$0 = -2n-3$

$2n = -3$

$n = - \frac{3}{2}$

Dikarenakan $n = U_t$, maka $U_t = - \frac{3}{2}$ 

Itulah pembahasan lengkap materi dan contoh soal suku tengah barisan geometri beserta jawabannya. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share sebanyak-banyaknya yaa. See you, bye