Pada tulisan ini akan dijelaskan mengenai pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, sebelumnya sudah dijelaskan pula mengenai pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut, jika belum membacanya sebaikanya kamu baca dulu tulisan tersebut karena untuk membuktikan rumus sudut rangkap bermula dari sana.
Rumus Trigonometri Sudut Rangkap
Berikut adalah rumus trigonometri sudut rangkap yang wajib kamu pahami dan hafalkan:
$\boxed{\displaystyle \begin{aligned}\sin 2 \alpha &= 2 \sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2 \alpha &= \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha \\ &= 2 \cos^{2} \alpha - 1 \\ &= 1 - 2 \sin^{2} \alpha \\ \tan 2 \alpha &= \frac {2 \tan \alpha}{1 - \tan^{2} \alpha}\end{aligned}}$
Pembuktian Rumus Sudut Rangkap
Kita akan membuktikan rumus sudut rangkap trigonometri diatas berdasarkan rumus jumlah dua sudut, jika $\alpha = \beta$ maka akan berlaku persamaan berikut:
$\sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\sin \left( \alpha + \alpha \right) = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha$
$\sin 2 \alpha = \sin \alpha \cos \alpha + \sin \alpha \cos \alpha$
$\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$ terbukti
$\cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$
$\cos \left( \alpha + \alpha \right) = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha$
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha$ terbukti
Selanjutnya untuk membuktikan dua rumus $\cos 2 \alpha$ lainnya, Kita akan menggunakan rumusan pertama dan rumus identitas trigonometri. Jika lupa rumus identitas, sebaiknya dipelajari dulu materi tersebut.
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha$
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \left( 1 - \cos^{2} \alpha \right)$
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - 1 + \cos^{2} \alpha$
$\cos 2 \alpha = 2 \cos^{2} \alpha - 1$ terbukti
$\cos 2 \alpha = \cos^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha$
$\cos 2 \alpha = \left( 1 - \sin^{2} \alpha \right) - \sin^{2} \alpha$
$\cos 2 \alpha = 1 - \sin^{2} \alpha - \sin^{2} \alpha$
$\cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha$ terbukti
$\displaystyle \tan \left( \alpha + \beta \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta}$
$\displaystyle \tan \left( \alpha + \alpha \right) = \frac {\tan \alpha + \tan \alpha}{1 - \tan \alpha \tan \alpha}$
$\displaystyle \tan 2 \alpha = \frac {2 \tan \alpha}{1 - \tan^{2} \alpha}$ terbukti
Soal Sudut Rangkap Trigonometri
Nah sekarang kamu sudah tahu nih pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, selanjutnya akan dipaparkan contoh soal sudut rangkap dan penyelesainnya. Simak baik-baik contoh soal berikut!
Nomor 1 : Sederhanakanlah bentuk berikut:
a). $2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha$
b). $2 \cos^{2} 4 \theta - 1$
c). $\displaystyle \cos^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right) - \sin^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right)$
d). $\displaystyle \frac {2 \tan 3A}{1 - \tan^{2} 3A}$
Jawaban 1a
Kita misalkan $2 \alpha = \beta$, sehingga
$\begin{aligned} 2 \sin 2 \alpha \cos 2 \alpha &= 2 \sin \beta \cos \beta \\ &= \sin 2 \beta \\ &= \sin 2 \left( 2 \alpha \right) \\ &= \sin 4 \alpha \end{aligned}$
Jawaban 1b
Misalkan $4 \theta = \beta$, maka
$\begin{aligned} 2 \cos^{2} 4 \theta - 1 &= 2 \cos^{2} \beta - 1 \\ &= \cos 2 \beta \\ &= \cos 2 \left( 4 \theta \right) \\ &= \cos 8 \theta \end{aligned}$
Jawaban 1c
Misalkan $\displaystyle \frac{\alpha}{2} = \beta$, maka
$\displaystyle \begin{aligned}\cos^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right) - \sin^{2} \left( \frac {\alpha}{2} \right) &= \cos^{2} \beta - \sin^{2} \beta \\ &= \cos 2 \beta \\ &= \cos 2 \left( \frac {\alpha}{2} \right) \\ &= \cos \alpha \end{aligned}$
Jawaban 1d
Misalkan $3A = B$, sehingga
$\displaystyle \begin{aligned} \frac {2 \tan 3A}{1 - \tan^{2} 3A} &= \frac {2 \tan B}{1 - \tan^{2} B} \\ &= \tan 2B \\ &= \tan 2(3A) \\ &= \tan 6A \end{aligned}$
Nomor 2 : Berapakah nilai dari:
a). $2 \sin^{2} 15^{\circ} - 1$
b). $2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ}$
c). $\displaystyle \frac{1 - \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}}$
Jawaban 2a
Ingat rumus sebelumnya
$\cos 2 \alpha = 1 - 2 \sin^{2} \alpha$
$2 \sin^{2} \alpha - 1 = - \cos 2 \alpha$
Sehingga
$\displaystyle \begin{aligned} 2 \sin^{2} 15^{\circ} - 1 &= - \cos 2 \left( 15^{\circ} \right) \\ &= - \cos 30^{\circ} \\ &= - \frac{1}{3} \sqrt{3} \end{aligned}$
Jawaban 2b
Ingat $\sin 2 \alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$, sehingga
$\displaystyle \begin{aligned} 2 \sin 15^{\circ} \cos 15^{\circ} &= \sin 2 \left( 15^{\circ} \right) \\ &= \sin 30^{\circ} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned}$
Jawaban 2c
$\displaystyle \frac{1 - \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}}$
Coba perhatikan! Bentuk diatas merupakan kebalikan dari rumus $\tan 2 \alpha$, sehingga
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1 - \tan^{2} 75^{\circ}}{2 \tan 75^{\circ}} &= \frac{1}{\tan 2 \left( 75^{\circ} \right)} \\ &= \frac{1}{\tan 150^{\circ}} \\ &= \frac {1}{- \frac{1}{\sqrt{3}}} \\ &= - \sqrt{3} \end{aligned}$
Nomor 3 : Diketahui $\sin A = \frac {4}{5}$, untuk $A$ sudut tumpul. Tentukanlah!
a). $\sin 2A$
b). $\cos 2A$
c). $\tan 2A$
Jawaban:
$\displaystyle \sin A = \frac {4}{5}$, untuk $A$ sudut tumpul (artinya hanya sin yang positif)
Ingat! $\displaystyle \sin A = \frac {De}{Mi} = \frac {4}{5}$. Dengan menggunkan pythagoras didapatkan sisi sampingnya $Sa = 3$
Nomor 3a
$\displaystyle \begin{aligned} \sin 2A &= 2 \sin A \cos A \\ &= 2 \times \frac{4}{5} \times \left( - \frac{3}{5} \right) \\ &= - \frac{24}{25} \end{aligned}$
Nomor 3b
$\displaystyle \begin{aligned} \cos 2A &= \cos^{2} A - \sin^{2} A \\ &= \left(\frac{-3}{5} \right)^{2} - \left( \frac{4}{5} \right)^{2} \\ &= \frac{9}{25} - \frac{16}{25} \\ &= - \frac{7}{25} \end{aligned}$
Nomor 3c
$\displaystyle \begin{aligned} \tan 2A &= \frac{2 \tan A}{1 - \tan^{2} A} \\ &= \frac{2 \times \left( - \frac{4}{3} \right)}{1 - \left( - \frac{4}{3} \right)^{2}} \\ &= \frac{- \frac{8}{3}}{1 - \frac{16}{9}} \\ &= \frac{- \frac{8}{3}}{ \frac{9}{9} - \frac{16}{9}}\\ &= \frac{- \frac{8}{3}}{ \frac{-7}{9}} \\ &= - \frac{8}{3} \times \left( - \frac{9}{7} \right) \\ &= \frac {24}{7} \end{aligned}$
Nomor 4 : Jika $\displaystyle \tan x = \frac{1}{2}$ dan $\displaystyle \tan y = \frac {1}{3}$, hitunglah!
a). $\tan 2x$
b). $\tan 2y$
c). $\tan \left( 2x + y \right)$
Jawaban 4a
$\displaystyle \begin{aligned} \tan 2x &= \frac{2 \tan x}{1 - \tan^{2} x} \\ &= \frac{2 \times \frac{1}{2}}{1 - \left( \frac{1}{2} \right)^{2}} \\ &= \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} \\ &= \frac{1}{ \frac{3}{4}} \\ &= \frac{4}{3} \end{aligned}$
Jawaban 4b
$\displaystyle \begin{aligned} \tan 2y &= \frac{2 \tan y}{1 - \tan^{2} y} \\ &= \frac{2 \times \frac{1}{3}}{1 - \left( \frac{1}{3} \right)^{2}} \\ &= \frac{ \frac{2}{3}}{1 - \frac{1}{9}} \\ &= \frac{ \frac{2}{3}}{ \frac{8}{9}} \\ &= \frac{2}{3} \times \frac{9}{8} \\ &= \frac{3}{4} \end{aligned}$
Jawaban 4c
$\displaystyle \begin{aligned} \tan \left( 2x + y \right) &= \frac{\tan 2x + \tan y}{1 - \tan 2x \tan y} \\ &= \frac{ \frac{4}{3} + \frac{1}{3}}{1 - \left( \frac{4}{3} \times \frac{1}{3} \right)} \\ &= \frac{ \frac{5}{3}}{1 - \frac{4}{9}} \\ &= \frac{ \frac{5}{3}}{ \frac{5}{9}} \\ &= \frac{5}{3} \times \frac{9}{5} \\ &= 3 \end{aligned}$
Itulah pembahasan lengkap sudut rangkap trigonometri mulai dari pembuktian rumus, contoh soal, serta pembahasannya. Jika masih belum jelas silahkan dibaca lagi secara perlahan. Selanjutnya Pak Anwar akan bahas pembuktian rumus perkalian trigonometri.
Apabila artikel ini bermanfaat silahkan bagikan kesemua media sosial Kamu, dan jangan lupa untuk memberi penilaian terhadap tulisan ini. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan beri nilai bintang 5 yaa. See you . . . bye
Posting Komentar