Rumus Trigonometri Sudut Rangkap dan Contoh Soal - Dokmat

Pada tulisan ini akan dijelaskan mengenai pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, sebelumnya sudah dijelaskan pula mengenai pembuktian rumus jumlah dan selisih dua sudut, jika belum membacanya sebaikanya kamu baca dulu tulisan tersebut karena untuk membuktikan rumus sudut rangkap bermula dari sana. 

Rumus Trigonometri Sudut Rangkap

Berikut adalah rumus trigonometri sudut rangkap yang wajib kamu pahami dan hafalkan:

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{rl}\sin 2\alpha & =2\sin \alpha \cos \alpha \\ \cos 2\alpha & ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha \\ & =2{\cos }^2\alpha -1\\ & =1-2{\sin }^2\alpha \\ \tan 2\alpha & =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }\end{array}}}}$

Pembuktian Rumus Sudut Rangkap

Kita akan membuktikan rumus sudut rangkap trigonometri diatas berdasarkan rumus jumlah dua sudut, jika $\alpha =\beta$ maka akan berlaku persamaan berikut:

$\sin (\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta$

$\sin (\alpha +\alpha )=\sin \alpha \cos \alpha +\cos \alpha \sin \alpha$

$\sin 2\alpha =\sin \alpha \cos \alpha +\sin \alpha \cos \alpha$

$\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$ terbukti

$\cos (\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta$

$\cos (\alpha +\alpha )=\cos \alpha \cos \alpha -\sin \alpha \sin \alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$ terbukti

Selanjutnya untuk membuktikan dua rumus $\cos 2\alpha$ lainnya, Kita akan menggunakan rumusan pertama dan rumus identitas trigonometri. Jika lupa rumus identitas, sebaiknya dipelajari dulu materi tersebut.  

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -(1-{\cos }^2\alpha )$

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -1+{\cos }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =2{\cos }^2\alpha -1$ terbukti

Related: Rumus Penjumlahan Trigonometri dan Contoh Soal

$\cos 2\alpha ={\cos }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =(1-{\sin }^2\alpha )-{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =1-{\sin }^2\alpha -{\sin }^2\alpha$

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$ terbukti

${\displaystyle \tan (\alpha +\beta )=\frac{\tan \alpha +\tan \beta }{1-\tan \alpha \tan \beta }}$

${\displaystyle \tan (\alpha +\alpha )=\frac{\tan \alpha +\tan \alpha }{1-\tan \alpha \tan \alpha }}$

${\displaystyle \tan 2\alpha =\frac{2\tan \alpha }{1-{\tan }^2\alpha }}$ terbukti

Soal Sudut Rangkap Trigonometri

Nah sekarang kamu sudah tahu nih pembuktian rumus sudut rangkap trigonometri, selanjutnya akan dipaparkan contoh soal sudut rangkap dan penyelesainnya. Simak baik-baik contoh soal berikut!

Nomor 1 : Sederhanakanlah bentuk berikut:

a). $2\sin 2\alpha \cos 2\alpha$

b). $2{\cos }^{2}4\theta -1$

c). ${\displaystyle {\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)}$

d). ${\displaystyle \frac{2\tan 3A}{1-{\tan }^{2}3A}}$

Jawaban 1a

Kita misalkan $2\alpha =\beta$, sehingga

$\begin{array}{rl}2\sin 2\alpha \cos 2\alpha & =2\sin \beta \cos \beta \\ & =\sin 2\beta \\ & =\sin 2\left(2\alpha \right)\\ & =\sin 4\alpha \end{array}$

Jawaban 1b

Related: Rumus Perkalian Trigonometri dan Contoh Soal

Misalkan $4\theta =\beta$, maka

$\begin{array}{rl}2{\cos }^{2}4\theta -1& =2{\cos }^2\beta -1\\ & =\cos 2\beta \\ & =\cos 2\left(4\theta \right)\\ & =\cos 8\theta \end{array}$

Jawaban 1c

Misalkan ${\displaystyle \frac{\alpha }{2}=\beta }$, maka

${\displaystyle \begin{array}{rl}{\cos }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)-{\sin }^2\left(\frac{\alpha }{2}\right)& ={\cos }^2\beta -{\sin }^2\beta \\ & =\cos 2\beta \\ & =\cos 2\left(\frac{\alpha }{2}\right)\\ & =\cos \alpha \end{array}}$

Jawaban 1d

Misalkan $3A=B$, sehingga

${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{2\tan 3A}{1-{\tan }^{2}3A}& =\frac{2\tan B}{1-{\tan }^{2}B}\\ & =\tan 2B\\ & =\tan 2(3A)\\ & =\tan 6A\end{array}}$

Nomor 2 : Berapakah nilai dari:

a). $2{\sin }^2{15}^{\circ }-1$

b). $2\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }$

c). ${\displaystyle \frac{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}{2\tan {75}^{\circ }}}$

Jawaban 2a

Ingat rumus sebelumnya

$\cos 2\alpha =1-2{\sin }^2\alpha$

$2{\sin }^2\alpha -1=-\cos 2\alpha$

Sehingga

${\displaystyle \begin{array}{rl}2{\sin }^2{15}^{\circ }-1& =-\cos 2\left({15}^{\circ }\right)\\ & =-\cos {30}^{\circ }\\ & =-\frac{1}{3}\sqrt{3}\end{array}}$

Related: Sudut Istimewa dan Pembuktiannya

Jawaban 2b

Ingat $\sin 2\alpha =2\sin \alpha \cos \alpha$, sehingga

${\displaystyle \begin{array}{rl}2\sin {15}^{\circ }\cos {15}^{\circ }& =\sin 2\left({15}^{\circ }\right)\\ & =\sin {30}^{\circ }\\ & =\frac{1}{2}\end{array}}$

Jawaban 2c

${\displaystyle \frac{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}{2\tan {75}^{\circ }}}$

Coba perhatikan! Bentuk diatas merupakan kebalikan dari rumus $\tan 2\alpha$, sehingga

${\displaystyle \begin{array}{rl}\frac{1-{\tan }^2{75}^{\circ }}{2\tan {75}^{\circ }}& =\frac{1}{\tan 2\left({75}^{\circ }\right)}\\ & =\frac{1}{\tan {150}^{\circ }}\\ & =\frac{1}{-\frac{1}{\sqrt{3}}}\\ & =-\sqrt{3}\end{array}}$

Nomor 3 : Diketahui $\sin A=\frac{4}{5}$, untuk $A$ sudut tumpul. Tentukanlah!

a). $\sin 2A$

b). $\cos 2A$

c). $\tan 2A$

Jawaban:

${\displaystyle \sin A=\frac{4}{5}}$, untuk $A$ sudut tumpul (artinya hanya sin yang positif)

Ingat! ${\displaystyle \sin A=\frac{De}{Mi}=\frac{4}{5}}$. Dengan menggunkan pythagoras didapatkan sisi sampingnya $Sa=3$

Nomor 3a

${\displaystyle \begin{array}{rl}\sin 2A& =2\sin A\cos A\\ & =2\times \frac{4}{5}\times (-\frac{3}{5})\\ & =-\frac{24}{25}\end{array}}$

Related: Rumus Jumlah dan Selisih Sudut Trigonometri

Nomor 3b

${\displaystyle \begin{array}{rl}\cos 2A& ={\cos }^{2}A-{\sin }^{2}A\\ & ={\left(\frac{-3}{5}\right)}^2-{\left(\frac{4}{5}\right)}^2\\ & =\frac{9}{25}-\frac{16}{25}\\ & =-\frac{7}{25}\end{array}}$

Nomor 3c

${\displaystyle \begin{array}{rl}\tan 2A& =\frac{2\tan A}{1-{\tan }^{2}A}\\ & =\frac{2\times (-\frac{4}{3})}{1-{(-\frac{4}{3})}^2}\\ & =\frac{-\frac{8}{3}}{1-\frac{16}{9}}\\ & =\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{9}{9}-\frac{16}{9}}\\ & =\frac{-\frac{8}{3}}{\frac{-7}{9}}\\ & =-\frac{8}{3}\times (-\frac{9}{7})\\ & =\frac{24}{7}\end{array}}$

Nomor 4 : Jika ${\displaystyle \tan x=\frac{1}{2}}$ dan ${\displaystyle \tan y=\frac{1}{3}}$, hitunglah!

a). $\tan 2x$

b). $\tan 2y$

c). $\tan (2x+y)$

Jawaban 4a

${\displaystyle \begin{array}{rl}\tan 2x& =\frac{2\tan x}{1-{\tan }^{2}x}\\ & =\frac{2\times \frac{1}{2}}{1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^2}\\ & =\frac{1}{1-\frac{1}{4}}\\ & =\frac{1}{\frac{3}{4}}\\ & =\frac{4}{3}\end{array}}$

Jawaban 4b

${\displaystyle \begin{array}{rl}\tan 2y& =\frac{2\tan y}{1-{\tan }^{2}y}\\ & =\frac{2\times \frac{1}{3}}{1-{\left(\frac{1}{3}\right)}^2}\\ & =\frac{\frac{2}{3}}{1-\frac{1}{9}}\\ & =\frac{\frac{2}{3}}{\frac{8}{9}}\\ & =\frac{2}{3}\times \frac{9}{8}\\ & =\frac{3}{4}\end{array}}$

Jawaban 4c

${\displaystyle \begin{array}{rl}\tan (2x+y)& =\frac{\tan 2x+\tan y}{1-\tan 2x\tan y}\\ & =\frac{\frac{4}{3}+\frac{1}{3}}{1-(\frac{4}{3}\times \frac{1}{3})}\\ & =\frac{\frac{5}{3}}{1-\frac{4}{9}}\\ & =\frac{\frac{5}{3}}{\frac{5}{9}}\\ & =\frac{5}{3}\times \frac{9}{5}\\ & =3\end{array}}$

Itulah pembahasan lengkap sudut rangkap trigonometri mulai dari pembuktian rumus, contoh soal, serta pembahasannya. Jika masih belum jelas silahkan dibaca lagi secara perlahan. Selanjutnya Pak Anwar akan bahas pembuktian rumus perkalian trigonometri.

Apabila artikel ini bermanfaat silahkan bagikan kesemua media sosial Kamu, dan jangan lupa untuk memberi penilaian terhadap tulisan ini. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan beri nilai bintang 5 yaa. See you . . . bye