Rumus perkalian trigonometri adalah bagian dari materi trigonometri yang dapat memudahkan kita dalam perhitungan perkalian sinus dan cosinus yang sudutnya berbeda dan unik. Dalam beberapa sumber, rumus ini juga dikenal sebagai rumus perkalian sinus dan cosinus.
Pada tulisan ini akan dibahas secara lengkap mengenai pembuktian rumus perkalian trigonometri dan tentunya contoh soal rumus perkalian sinus dan cosinus, akan tetapi sebelum membahas materi ini sebaiknya kamu membaca dulu matari sebelumnya yaitu rumus jumlah dan selisih dua sudut, sebab pembuktian rumus pada materi ini berawal dari rumus tersebut.
1. Rumus Perkalian Trigonometri
Berikut adalah rumus perkalian trigonometri yang wajib kamu pahami dan hafalkan:
\( \boxed{\begin{aligned} 2 \sin \alpha \cos \beta &= \sin (\alpha + \beta) + \sin (\alpha - \beta) \\ 2 \cos \alpha \sin \beta &= \sin (\alpha + \beta) - \sin (\alpha - \beta) \\ 2 \cos \alpha \cos \beta &= \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta) \\ -2 \sin \alpha \sin \beta &= \cos (\alpha + \beta) - \cos (\alpha - \beta) \\ \end{aligned}} \)
2. Pembuktian Rumus Perkalian Trigonometri
Nah dibawah ini adalah pembuktian rumus perkalian trigonometri, simaklah pembahasan berikut dengan baik!
\( \sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin \left( \alpha - \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
Sekarang jumlahkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
\( \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) = 2 \sin \alpha \cos \beta \)
\( 2 \sin \alpha \cos \beta = \sin \left( \alpha + \beta \right) + \sin \left( \alpha - \beta \right) \) terbukti
\( \sin \left( \alpha + \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \)
\( \sin \left( \alpha - \beta \right) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \)
Sekarang kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
\( \sin \left( \alpha + \beta \right) - \sin \left( \alpha - \beta \right) = 2 \cos \alpha \sin \beta \)
\( 2 \cos \alpha \sin \beta = \sin \left( \alpha + \beta \right) - \sin \left( \alpha - \beta \right) \) terbukti
\( \cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
\( \cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
Sekarang jumlahkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
\( \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) = 2 \cos \alpha \cos \beta \)
\( 2 \cos \alpha \cos \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \) terbukti
\( \cos \left( \alpha + \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \)
\( \cos \left( \alpha - \beta \right) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \)
Sekarang kurangkan kedua persamaan diatas, sehingga didapatkan hasil sebagai berikut:
\( \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) = - 2 \sin \alpha \sin \beta \)
\( - 2 \sin \alpha \sin \beta = \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \) terbukti
3. Contoh Soal Rumus Perkalian Sinus dan Cosinus
Nah, berikut adalah contoh soal perkalian trigonometri beserta dengan jawabannya, simak baik-baik ya!
1). Berapakah nilai dari \( 2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} \)?
Jawab:
\( \displaystyle \begin{aligned} 2 \cos \alpha \cos \beta &= \cos \left( \alpha + \beta \right) + \cos \left( \alpha - \beta \right) \\ 2 \cos 75^{\circ} \cos 15^{\circ} &= \cos \left( 75^{\circ} + 15^{\circ} \right) + \cos \left( 75^{\circ} - 15^{\circ} \right) \\ &= \cos 90^{\circ} + \cos 60^{\circ} \\ &= 0 + \frac{1}{2} \\ &= \frac{1}{2} \end{aligned} \)
2). Berapakah nilai dari \( \sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \)
Jawab:
\( \displaystyle \begin{aligned} - 2 \sin \alpha \sin \beta &= \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \\ \sin \alpha \sin \beta &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \right] \\ \sin \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \frac{3 \pi}{8} + \frac{\pi}{8} \right) - \cos \left( \frac{3 \pi}{8} - \frac{\pi}{8} \right) \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{4 \pi}{8} - \cos \frac{2 \pi}{8} \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \frac{\pi}{2} - \cos \frac{\pi}{4} \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[ 0 - \frac{1}{2} \sqrt{2} \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[- \frac{1}{2} \sqrt{2} \right] \\ &= \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{aligned} \)
3). Tentukan nilai dari \( 4 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \)!
Jawab:
\( \displaystyle \begin{aligned} 4 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) &= 2 \times 2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \\ &= 2 \left[ 2 \sin \left( \frac{\pi}{8} \right) \cos \left( \frac{3 \pi}{8} \right) \right] \\ &= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{8} + \frac{3 \pi}{8} \right) + \sin \left( \frac{\pi}{8} - \frac{3 \pi}{8} \right) \right] \\ &= 2 \left[ \sin \left( \frac{4 \pi}{8} \right) + \sin \left( \frac{-2 \pi}{8} \right) \right] \\ &= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) + \sin \left( - \frac{\pi}{4} \right) \right] \\ &= 2 \left[ \sin \left( \frac{\pi}{2} \right) - \sin \left( \frac{\pi}{4} \right) \right] \\ &= 2 \left[ 1 - \frac{1}{2} \sqrt{2} \right] \\ &= 2 - \sqrt{2} \end{aligned} \)
4). Tentukan nilai dari \( \sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} \)!
Jawab:
\( \displaystyle \begin{aligned} - 2 \sin \alpha \sin \beta &= \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \\ \sin \alpha \sin \beta &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \left( \alpha + \beta \right) - \cos \left( \alpha - \beta \right) \right] \\ \sin 105^{\circ} \sin 15^{\circ} &= - \frac{1}{2} \left[ \cos \left( 105^{\circ} + 15^{\circ} \right) - \cos \left( 105^{\circ} - 15^{\circ} \right) \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[ \cos 120^{\circ} - \cos 90^{\circ} \right] \\ &= - \frac{1}{2} \left[ - \frac{1}{2} - 0 \right] \\ &= \frac{1}{4} \end{aligned}\)
5). Tentukanlah nilai dari \( \sin^{2} 195^{\circ} \sin^{2} 15^{\circ} \)!
Jawab:
\( \displaystyle \begin{aligned} \sin^{2} 195^{\circ} \sin^{2} 15^{\circ} &= \left[ \sin 195^{\circ} \sin 15^{\circ} \right]^{2} \\ &= \left[ - \frac{1}{2} \left( \cos \left( 195^{\circ} + 15^{\circ} \right) - \cos \left( 195^{\circ} - 15^{\circ} \right) \right) \right]^{2} \\ &= \left[ - \frac{1}{2} \left( \cos 210^{\circ} - \cos 180^{\circ} \right) \right]^{2} \\ &= \left[ - \frac{1}{2} \left(- \frac{1}{2} \sqrt{3} - (-1) \right) \right]^{2} \\ &= \left[ - \frac{1}{2} \left(- \frac{1}{2} \sqrt{3} + 1 \right) \right]^{2} \\ &= \left[ \frac{\sqrt{3}}{4} - \frac{1}{2} \right]^{2} \\ &= \left[ \frac{\sqrt{3} - 2}{4} \right]^{2} \\ &= \frac{3 - \left( 2 \times \sqrt{3} \times 2 \right) + 4}{16} \\ &= \frac{3 - 4 \sqrt{3} + 4}{16} \\ &= \frac{7 - 4 \sqrt{3}}{16} \end{aligned} \)
4. Soal Latihan Rumus Perkalian Trigonometri
Setelah kamu memahami materinya, sekarang cobalah untuk menjawab soal-soal berikut ini!
1). Nyatakan perkalian trigonometri berikut dalam bentuk penjumlahan atau pengurangan!
a). \( 2 \cos (x - 60^{\circ}) \sin (x + 60^{\circ}) \)
b). \( 2 \sin (2x - 45^{\circ}) \sin (2x + 45^{\circ}) \)
c). \( \cos (4x - 2y) \cos (4x + 2y) \)
d). \( \displaystyle - \sin \left( x - \frac{\pi}{2} \right) \sin \left( x + \frac{\pi}{2} \right) \)
Seperti itulah penjelasan lengkap mengenai rumus perkalian trigonometri atau lebih dikenal dengan rumus perkalian sinus dan cosinus dari Pak Anwar. Jika belum paham, baca kembali secara perlahan. Pembahasan terakhir dari trigonometri adalah rumus penjumlahan trigonometri. Jangan lupa untuk share tulisan ini ya agar orang lain paham dengan materi trigonometri juga.
Posting Komentar