Aplikasi Deret Geometri Tak Hingga - Dokmat

Pada tulisan kali ini kita akan belajar seperti apa sih penerapan deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari? Nah, salah satu penerapan deret tak hingga yaitu untuk menghitung panjang lintasan bola yang jatuh.

Selain itu, aplikasi deret tak hingga dapat pula digunakan untuk menghitung pertumbuhan sebuah bakteri tertentu. Lebih jelasnya lagi mengenai contoh soal cerita deret geometri tak hingga akan kita bahas setelah kita mencari rumusannya.

Nah berikut ini akan dicari rumusan yang dapat kita gunakan dalam memahami aplikasi deret tak hingga dalam kehidupan sehari-hari. Kita akan mulai dari sebuah cerita yaa.

Sebuah bola dilemparkan keatas ataupun langsung dijatuhkan dari ketinggian tertentu, kemudian bola tersebut menghantam lantai dan memantul kembali ke atas. Kejadian tersebut berlangsung terus-menerus hingga akhirnya bola tersebut berhenti memantul.

Dapatkah Kamu menentukan formula untuk menghitung panjang lintasan yang dilalui bola hingga berhenti? Nah itulah yang akan Kita pelajari disini. Siap? Kita mulai!

Ada beberapa kasus dalam menentukan rumus panjang lintasan bola yang memantul. Berikut penjelasan lengkapnya:

Bola Dilemparkan ke Atas

Ketika sebuah bola dilemparkan ke atas maka terbentuk lintasan-lintasan yang dilalui bola, seperti ilustrasi dibawah ini.

Coba perhatikan baik-baik!

Lintasan yang dilalui oleh bola ada bagian yang naik dan ada bagian yang turun. Panjang lintasan naik $PLN$ yaitu $S_{\mathrm{\infty }}$ dan panjang lintasan turun $PLT$ yaitu $S_{\mathrm{\infty }}$, sehingga total panjang lintasan $PL$ sama dengan panjang lintasan naik ditambah panjang lintasan turun.

$PL=PLN+PLT$

$PL=S_{\mathrm{\infty }}+S_{\mathrm{\infty }}$

$PL=2S_{\mathrm{\infty }}$

$PL=2\left(\frac{a}{1-r}\right)$

Jadi rumusnya adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle PL=2\left(\frac{a}{1-r}\right)}}}$

Related: Barisan Aritmatika, Pembuktian Rumus, dan Contoh Soal

Bola Dijatuhkan ke Bawah

Hampir sama kasusnya seperti yang dilemparkan keatas, yang membedakan adalah lintasan awal yang naik dihilangkan sebab bola langsung dijatuhkan dari atas.

Sehingga formula untuk mencari panjang lintasannya adalah sebagai berikut:

$PL=2S_{\mathrm{\infty }}-a$

$PL=2\left(\frac{a}{1-r}\right)-a$

$PL=\frac{2a}{1-r}-a$

Jadi rumusnya adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle PL=\frac{2a}{1-r}-a}}}$

Panjang Lintasan Setelah Pantulan ke-$k$

Pada kasus ini bola dilemparkan ke atas ataupun dijatuhkan ke bawah hasilnya akan selalu sama, karena perhitungan dimulai setelah bola memantul. Sekarang coba perhatikan ilustrasi dibawah ini!

Setelah pantulan ke-1 suku pertamanya $U_2$

Setelah pantulan ke-2 suku pertamanya $U_3$

Setelah pantulan ke-3 suku pertamanya $U_4$, dan seterusnya sampai

Setelah pantulan ke-$k$ suku pertamanya $U_{k+1}$

Mencari suku ke-$n$ masih tetap menggunakan $U_n=a{r}^{n-1}$. Nah sekarang Kita kaitkan dengan panjang lintasan.

Panjang lintasan setelah pantulan ke-1

${\displaystyle PL=2S_{\mathrm{\infty }}=2\left(\frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}\right)=2\left(\frac{U_2}{1-r}\right)=2\left(\frac{ar}{1-r}\right)}$

Related: Rumus Deret Aritmatika dan Contoh Soal

Panjang lintasan setelah pantulan ke-2

${\displaystyle PL=2S_{\mathrm{\infty }}=2\left(\frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}\right)=2\left(\frac{U_3}{1-r}\right)=2\left(\frac{a{r}^2}{1-r}\right)}$

Panjang lintasan setelah pantulan ke-3

${\displaystyle PL=2S_{\mathrm{\infty }}=2\left(\frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}\right)=2\left(\frac{U_4}{1-r}\right)=2\left(\frac{a{r}^3}{1-r}\right)}$

Panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$

${\displaystyle PL=2S_{\mathrm{\infty }}=2\left(\frac{\text{suku pertama}}{1-\text{rasio}}\right)=2\left(\frac{U_{k+1}}{1-r}\right)=2\left(\frac{a{r}^k}{1-r}\right)}$

Jadi dapat disimpulkan bahwa rumus untuk mencari panjang lintasan setelah pantulan ke-$k$ adalah sebagai berikut:

$\boxed{{\displaystyle {\displaystyle PL=2\left(\frac{a{r}^k}{1-r}\right)}}}$

1). Sebuah bola dilemparkan keatas mencapai ketinggian $6$ m, bola tersebut jatuh dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{1}{2}$ dari tinggi sebelumnya. berapakah panjang lintasan yang dilalui bola sampai berhenti?

Jawab:

Diketahui $a=6,r=\frac{1}{2}$

Bola dilempar keatas, artinya menggunakan rumus $PL=2\left(\frac{a}{1-r}\right)$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{a}{1-r}\right)}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{6}{1-\frac{1}{2}}\right)}$

Related: Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal

${\displaystyle PL=2\left(\frac{6}{\frac{1}{2}}\right)}$

${\displaystyle PL=2(6\times \frac{2}{1})}$

$PL=2\times 12$

$PL=24$ m

2). Sebuah bola dijatuhkan dari ketinggian $5$ m, dan memantul kembali dengan ketinggian $\frac{3}{5}$ dari tinggi sebelumnya. berapakah panjang lintasan bola sampai berhenti?

Jawab:

Diketahui ${\displaystyle a=5,r=\frac{3}{5}}$

Bola dijatuhkan kebawah, artinya menggunakan rumus ${\displaystyle PL=\frac{2a}{1-r}-a}$

${\displaystyle PL=\frac{2a}{1-r}-a}$

${\displaystyle PL=\frac{2.5}{1-\frac{3}{5}}-5}$

${\displaystyle PL=\frac{10}{\frac{5}{5}-\frac{3}{5}}-5}$

${\displaystyle PL=\frac{10}{\frac{2}{5}}-5}$

$PL=10\times \frac{5}{2}-5$

$PL=5.5-5$

$PL=25-5$

Related: Deret Geometri dan Contoh Soal

$PL=20$ m

3). Sebuah bola jatuh dari ketinggian $4$ m dan memantul kembali menjadi $\frac{2}{3}$ tinggi sebelumnya. Tentukan panjang lintasan setelah pantulan ke-2 sampai bola tersebut berhenti!

Jawab:

Diketahui ${\displaystyle a=4,r=\frac{2}{3},k=2}$

Ditanyakan panjang lintasan setelah pantulan ke 2, artinya menggunakan rumus ${\displaystyle PL=2\left(\frac{a{r}^k}{1-r}\right)}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{a{r}^k}{1-r}\right)}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{4{\left(\frac{2}{3}\right)}^2}{1-\frac{2}{3}}\right)}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{4\left(\frac{4}{9}\right)}{\frac{1}{3}}\right)}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{\frac{16}{9}}{\frac{1}{3}}\right)}$

${\displaystyle PL=2(\frac{16}{9}\times \frac{3}{1})}$

${\displaystyle PL=2\left(\frac{16}{3}\right)}$

${\displaystyle PL=\frac{32}{3}}$

Itulah pembahasan tentang aplikasi deret tak hingga dalam kehidupan sehari-hari, semoga aplikasi deret tak hingga ini dapat membuat kamu lebih paham lagi tentang materi deret geometri tak hingga. Jika tulisan ini bermanfaat silahkan share yaa! Sampai ketemu lagi di tulisan berikutnya, bye.