Pembuktian rumus identitas trigonometri merupakan hal yang sangat penting dalam memahami dasar-dasar trigonometri. Identitas trigonometri adalah persamaan yang memperlihatkan hubungan antara fungsi-fungsi trigonometri seperti sinus, cosinus, dan tangen.
Rumus identitas trigonometri sangat bermanfaat untuk menyelesaikan berbagai masalah matematika dan fisika yang melibatkan sudut dan sisi-sisi segitiga. Namun, sekedar menghafal rumus saja tidaklah cukup, penting juga untuk memahami pembuktian rumus-rumus tersebut.
Dalam artikel ini, Pak Anwar akan memberikan penjelasan tentang pembuktian rumus identitas trigonometri yang mudah dipahami.
Rumus Identitas Trigonometri Dasar
Ada tiga rumus dasar dalam identitas trigonometri yang perlu kamu ketahui, yaitu:
$\boxed{\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1 \\ \tan^{2} \alpha + 1 = \sec^{2} \alpha \\ \cot^{2} \alpha + 1 = \csc^{2} \alpha \end{aligned}}$
Rumus di atas kedepannya wajib kamu ingat, karena rumus tersebut akan memudahkan kamu saat menyelesaikan soal-soal identitas trigonometri yang lebih kompleks.
Pembuktian Identitas Trigonometri
Yuk kita mulai dengan mempelajari pembuktian identitas trigonometri yang dapat membantu kita memperluas pemahaman kita tentang matematika dan mempersiapkan diri kita untuk eksplorasi lebih dalam dalam cabang ilmu ini.
Dengan pemahaman yang kuat tentang pembuktian rumus identitas trigonometri, kamu akan dapat mengaplikasikan konsep-konsep ini ke dalam masalah-masalah yang lebih kompleks.
Tanpa basa-basi lagi, langsung saja inilah dia pembuktian rumus identitas trigonometri.
Berdasarkan gambar di atas terlihat bahwa sisi di depan sudut $\alpha$ adalah $y$, sisi di samping sudut $\alpha$ adalah $x$, dan sisi miringnya adalah $r$. Sehingga perbandingan trigonometrinya adalah
$\displaystyle \sin \alpha = \frac{y}{r} \longrightarrow \color{red}{y = r \sin \alpha}$
$\displaystyle \cos \alpha = \frac{x}{r} \longrightarrow \color{red}{x = r \cos \alpha}$
Dari teorema pythagoras kita dapatkan persamaan berikut
$\displaystyle \begin{aligned} x^{2} + y^{2} &= r^{2} \\ \left( \color{red}{r \cos \alpha} \right)^{2} + \left( \color{red}{r \sin \alpha} \right)^{2} &= r^{2} \\ r^{2} \cos^{2} \alpha + r^{2} \sin^{2} \alpha &= r^{2} \\ r^{2} \sin^{2} \alpha + r^{2} \cos^{2} \alpha &= r^{2} \space \text{bagi dengan} \space \color{red}{r^{2}} \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \space \color{red}{\text{[terbukti]}} \end{aligned}$
Itulah pembuktian identitas trigonometri yang pertama. Gimana, mudah banget kan?
Sekarang Pak Anwar akan coba buktikan rumus identitas trigonometri yang kedua dan ketiga. Cara membuktikannya yaitu dengan menggunakan rumus identitas yang pertama.
$\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \space \text{bagi dengan} \space \color{red}{\cos^{2} \alpha} \\ \frac{\sin^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha} + \frac{\cos^{2} \alpha}{\cos^{2} \alpha}&= \frac{1}{\cos^{2} \alpha} \\ \tan^{2} \alpha + 1 &= \sec^{2} \alpha \space \color{red}{\text{[terbukti]}} \end{aligned}$
Berikutnya kita akan lihat bersama-sama pembuktian rumus identitas trigonometri yang ketiga.
$\displaystyle \begin{aligned} \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \\ \sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha &= 1 \space \text{bagi dengan} \space \color{red}{\sin^{2} \alpha} \\ \frac{\sin^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} + \frac{\cos^{2} \alpha}{\sin^{2} \alpha} &= \frac{1}{\sin^{2} \alpha} \\ 1 + \cot^{2} \alpha &= \csc^{2} \alpha \\ \cot^{2} \alpha + 1&= \csc^{2} \alpha\space \color{red}{\text{[terbukti]}} \end{aligned}$
Alhamdulillah, akhirnya selesai juga pembuktian rumusnya.
Nah setelah kamu tau asal-usul rumusnya, sekarang coba pahami contoh penerapan rumus tersebut saat dipakai untuk menyelesaikan soal identitas trigonometri.
Contoh Soal Pembuktian Rumus Identitas Trigonometri
Berikut ini adalah conto soal pembuktian identitas trigonometri yang dapat membuat kamu lebih paham mengenai penerapan rumus yang sudah dibuktikan di atas.
1). Buktikanlah bahwa $\displaystyle \frac{1 - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} = \sin \alpha$!
Jawaban
Ingat..!!
$\sin^{2} \alpha + \cos^{2} \alpha = 1$ atau bisa juga ditulis $1 - \cos^{2} \alpha = \color{red}{\sin^{2} \alpha}$.
\( \displaystyle \begin{aligned} \frac{1 - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} &= \frac{1 - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} \\ &= \frac{\color{red}{\sin^{2} \alpha}}{\sin \alpha} \\ &= \frac{\sin \alpha . \sin \alpha}{\sin \alpha} \\ \frac{1 - \cos^{2} \alpha}{\sin \alpha} &= \sin \alpha \space \color{red}{\text{[terbukti]}} \end{aligned} \)
2). Tentukan bentuk sederhana dari $\displaystyle \frac{\sin x + \tan x}{\cot x + \csc x}$!
Jawaban
Ingat..!!
$\displaystyle \begin{aligned} \tan x=\frac{\sin x}{\cos x} \\ \cot x=\frac{\cos x}{\sin x} \\ \csc x=\frac{1}{\sin x}\end{aligned}$
$\begin{aligned} \frac{\sin x+\tan x}{\cot x+\csc x} & =\frac{\sin x+\frac{\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x}{\sin x}+\frac{1}{\sin x}} \\ & =\frac{\frac{\sin x \cos x+\sin x}{\cos x}}{\frac{\cos x+1}{\sin x}} \\ & =\frac{\sin x(\cos x+1)}{\cos x} \cdot \frac{\sin x}{(\cos x+1)} \\ & = \frac{\sin x \cdot \sin x}{\cos x} \\ & =\sin x \tan x \end{aligned}$
3). Buktikan rumus identitas trigonometri berikut benar!
$\displaystyle \frac{1+\cot ^2 \beta}{\cot \beta \sec ^2 \beta}= \cot \beta$
Jawaban
$\displaystyle \begin{aligned} \frac{1+\cot ^2 \beta}{\cot \beta \sec ^2 \beta} &= \frac{1+\cot ^2 \beta}{\cot \beta \sec ^2 \beta} \\ &= \frac{\csc ^2 \beta}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \cdot \frac{1}{\cos ^2 \beta}} \\ &=\frac{\frac{1}{\sin ^2 \beta}}{\frac{\cos \beta}{\sin \beta \cos ^2 \beta}} \\ &=\frac{1}{\sin ^2 \beta} \cdot \frac{\sin \beta \cos ^2 \beta}{\cos \beta} \\ &=\frac{\sin \beta \cdot \cos \beta \cdot \cos \beta}{\sin \beta \cdot \sin \beta \cdot \cos \beta} \\ &=\frac{\cos \beta}{\sin \beta} \\ &= \cot \beta \space \color{red}{\text{[terbukti]}} \end{aligned}$
Soal Latihan Pembuktian Identitas Trigonometri
Agar kamu lebih paham tentang penerapan rumus identitas trigonometri, coba kerjakan soal-soal berikut ini!
1). Carilah bentuk yang paling sederhana dari bentuk trigonometri $\tan A \sin A + \cos A$
2). Buktikan rumus identitas trigonometri berikut!
$\sin A(\sec A+\cot A)=\tan A \cos A$
3). Tentukan bentuk paling sederhana dari identitas trigonometri berikut!
$\displaystyle \frac{1+\sin x}{\cos x}+\frac{\cos x}{1+\sin x}$
Itulah pembuktian rumus identitas trigonometri dari Pak Anwar, pembuktian rumus ini memberikan kejelasan tentang hubungan yang erat antara fungsi-fungsi trigonometri.
Dengan menggunakan langkah-langkah logis dan matematika yang teliti, kita dapat menghasilkan rumus-rumus yang membantu kita dalam memecahkan berbagai masalah trigonometri yang kompleks.
Rumus-rumus identitas trigonometri ini adalah alat yang tak ternilai bagi kita dalam memahami dan menganalisis hubungan antara sudut-sudut dalam segitiga atau persamaan-persamaan trigonometri.
Apabila dirasa bermanfaat, bagikan pelajaran pembuktian identitas trigonometri ini ke semua media sosial kamu agar orang lain mendapatkan manfaatnya juga.
Posting Komentar