Contoh Soal Limit Fungsi Trigonometri - Dokmat

Selamat datang di blog dokmat, pintar matematika tanpa drama. Jika kamu sedang mencari contoh soal limit trigonometri, kamu sudah berada ditempat yang tepat. Karena ditulisan ini Pak Anwar akan bahas contoh soal limit fungsi trigonometri lengkap dengan jawabannya.

Contoh limit fungsi trigonometri yang sesuai dengan sifat-sifat dasarnya udah Pak Anwar bahas di tulisan sebelumnya yaitu sifat limit fungsi trigonometri dan contoh soal. Sebaiknya kamu baca dulu tulisan itu, karena pembahasan ini akan ada kaitannya dengan materi sebelumnya.

Bukan hanya contoh saja yang akan kamu dapatkan di artikel ini, kamu juga akan mendapatkan latihan soal limit trigonometri. Jadi setelah kamu paham dengan contoh soal limit fungsi trigonometri, kamu bisa langsung latihan.

Contoh Soal Limit Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal limit fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya.

1). ${\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}[\sin 2x-\tan \frac{1}{2}x]}$

Jawab:

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to \frac{\pi }{2}}{lim}[\sin 2x-\tan \frac{1}{2}x]& =\sin (2.\frac{\pi }{2})-\tan (\frac{1}{2}.\frac{\pi }{2})\\ & =\sin \pi -\tan \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\sin {180}^{\circ }-\tan {45}^{\circ }\\ & =0-1\\ & =-1\end{array}}$

Related: Sifat Limit Fungsi Trigonometri dan Contohnya

2). ${\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\left[\frac{2\tan x-\sin x}{\cos x}\right]}$

Jawab:

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to \frac{\pi }{3}}{lim}\left[\frac{2\tan x-\sin x}{\cos x}\right]& ={\displaystyle \frac{2\tan \frac{\pi }{3}-\sin \frac{\pi }{3}}{\cos \frac{\pi }{3}}}\\ & =\frac{2\tan {60}^{\circ }-\sin {60}^{\circ }}{\cos {60}^{\circ }}\\ & ={\displaystyle \frac{2\sqrt{3}-\frac{1}{2}\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\frac{4\sqrt{3}-\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}}\\ & ={\displaystyle \frac{\frac{3\sqrt{3}}{2}}{\frac{1}{2}}}\\ & =\frac{3\sqrt{3}}{2}\times \frac{2}{1}\\ & =3\sqrt{3}\end{array}}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{2x^2+x}{\sin x}\right]}$

Jawab:

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{2x^2+x}{\sin x}\right]& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2x^2}{\sin x}+\frac{x}{\sin x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x^2}{\sin x}+\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[x.\frac{2x}{\sin x}]+1\\ & =\underset{x\to 0}{lim}x.\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\sin x}+1\\ & =0.2+1\\ & =0+1\\ & =1\end{array}}$

Related: Sifat Limit Fungsi Trigonometri dan Contohnya

4). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{x^2}{1-\cos 2x}\right]}$

Jawab:

Ingat, $\cos 2x=1-2{\sin }^{2}x$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{x^2}{1-\cos 2x}\right]& =\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{x^2}{1-(1-2{\sin }^{2}x)}\right]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{x^2}{2{\sin }^{2}x}\right]\\ & =\frac{1}{2}.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{x}{\sin x}.\frac{x}{\sin x}]\\ & =\frac{1}{2}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}\\ & =\frac{1}{2}.1.1\\ & =\frac{1}{2}\end{array}}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{1-\cos 6x}{x^2}\right]}$

Jawab:

Ingat, $\cos ax=1-2{\sin }^2\frac{1}{2}ax$

Related: Pembuktian Sifat Limit Fungsi Trigonometri

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{1-\cos 6x}{x^2}\right]& =\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{1-(1-2{\sin }^{2}3x)}{x^2}\right]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{2{\sin }^{2}3x}{x^2}\right]\\ & =2.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 3x}{x}.\frac{\sin 3x}{x}]\\ & =2.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 3x}{x}\\ & =2.3.3\\ & =18\end{array}}$

6). ${\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{8}}{lim}\left[\frac{{\sin }^{2}2x-{\cos }^{2}2x}{\sin 2x-\cos 2x}\right]}$

Jawab:

Ingat, $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to \frac{\pi }{8}}{lim}\left[\frac{{\sin }^{2}2x-{\cos }^{2}2x}{\sin 2x-\cos 2x}\right]& =\underset{x\to \frac{\pi }{8}}{lim}\left[\frac{(\sin 2x-\cos 2x)(\sin 2x+\cos 2x)}{(\sin 2x-\cos 2x)}\right]\\ & =\underset{x\to \frac{\pi }{8}}{lim}[\sin 2x+\cos 2x]\\ & =\sin 2\left(\frac{\pi }{8}\right)+\cos 2\left(\frac{\pi }{8}\right)\\ & =\sin \left(\frac{\pi }{4}\right)+\cos \left(\frac{\pi }{4}\right)\\ & =\sin {45}^{\circ }+\cos {45}^{\circ }\\ & =\frac{1}{2}\sqrt{2}+\frac{1}{2}\sqrt{2}\\ & =\sqrt{2}\end{array}}$

Itulah contoh soal limit trigonometri dan pembahasannya, semoga kamu paham dengan apa yang aku jelaskan.

Latihan Soal Limit Trigonometri

Related: Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Berikut ini soal latihan limit fungsi trigonometri, silahkan selesaikan!

1). ${\displaystyle \underset{x\to \frac{\pi }{4}}{lim}\left[\frac{\sin 2x}{\sin x+\cos x}\right]}$

2). ${\displaystyle \underset{x\to 3}{lim}\left[\frac{x\tan (2x-6)}{\sin (x-3)}\right]}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{5x.\tan 8x}{1-\cos 4x}\right]}$

4). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\left[\frac{1-\cos 2x}{x\tan 2x}\right]}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\left[\frac{\sin (1-\frac{1}{x})\cos (1-\frac{1}{x})}{x-1}\right]}$

6). ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\left[\frac{1-{\cos }^2(x-1)}{4(x^2-2x+1)}\right]}$

Akhirnya selesai juga pembahasan contoh soal limit fungsi trigonometri, jangan lupa kerjakan soal latihannya juga yaa. Berikutnya Pak Anwar akan bahas contoh limit trigonometri tak hingga. Bagikan tulisan ini agar bermanfaat untuk orang lain, sampai bertemu lagi di tulisan berikutnya.