Sifat Limit Fungsi Trigonometri dan Contohnya - Dokmat

Sifat limit fungsi trigonometri adalah sebuah rumusan yang dapat kita gunakan untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan limit trigonometri. Dengan adanya sifat ini, soal-soal akan lebih cepat dan lebih mudah untuk dikerjakan.

Pada tulisan ini Pak Anwar akan bahas sifat limit fungsi trigonometri dan contohnya, untuk pembuktian sifat limit fungsi trigonometri bisa kamu lihat di tulisan sebelumnya melalui link pada paragraf ini.

Contoh sifat limit fungsi trigonometri akan Pak Anwar bagi menjadi dua kategori, yaitu menggunakan sifat dasar dan menggunakan sifat umum.

1. Sifat Limit Fungsi Trigonometri Dasar

1). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\sin x}=1}$

2). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}=1}$

3). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{x}{\tan x}=1}$

4). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan x}{x}=1}$

5). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{ax}{\sin ax}=1}$

6). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{ax}=1}$

7). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{ax}{\tan ax}=1}$

8). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan ax}{ax}=1}$

2. Sifat Limit Fungsi Trigonometri Umum

9). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}}$

10). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{bx}=\frac{a}{b}}$

11). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}}$

12). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan ax}{bx}=\frac{a}{b}}$

13). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}}$

14). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}}$

15). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin ax}{\tan bx}=\frac{a}{b}}$

16). Sifat ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan ax}{\sin bx}=\frac{a}{b}}$

Related: Pembuktian Sifat Limit Fungsi Trigonometri

Aku harap kamu gak langsung kabur setelah lihat sifat-sifat limit fungsi trigonometri ini hahaha. Tenaaang, memang banyak sih tapi mudah kok mengingatnya.

Coba deh kamu perhatikan!

Bentuk trigonometrinya cuman ada dua, yaitu sinus dan tangen. Pokonya kalau koefisien $x$ dari pembilang dan koefisien $x$ dari penyebut sama, dia akan sama dengan $1$. Kalau koefisiennya berbeda, maka akan sama dengan koefisien $x$ pembilang dibagi koefisien $x$ penyebut itu sendiri.

3. Contoh Soal Sifat Limit Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah contoh soal sifat-sifat limit fungsi trigonometri lengkap dengan pembahasannya.

Tentukan penyelesaian dari limit fungsi trigonometri berikut ini.

1). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x}{3x}}$

2). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{3\sin 2x}}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 4x}}$

4). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\tan 4x}{5x}}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{\sin 5x}}$

6). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{\tan 2x}}$

7). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 7x}{\tan 3x}}$

8). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{\sin 2x}}$

Aku akan bahas soal limit fungsi trigonometri ini menggunakan dua cara, yaitu menggunakan sifat dasar dan sifat umum limit fungsi trigonometri.

Jawaban Menggunakan Sifat Dasar

1). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x}{3x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x}{3x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2}{3}.\frac{\sin x}{x}]\\ & =\frac{2}{3}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{x}\\ & =\frac{2}{3}.1\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

2). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{3\sin 2x}}$

Related: Pembuktian Sifat Limit Fungsi Trigonometri

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{3\sin 2x}& =\underset{x\to 0}{lim}\frac{2.2x}{3\sin 2x}\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2}{3}.\frac{2x}{\sin 2x}]\\ & =\frac{2}{3}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\sin 2x}\\ & =\frac{2}{3}.1\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 4x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 4x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{3x}{\tan 4x}.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{3x}{\tan 4x}.\frac{4x}{4x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{4x}{\tan 4x}.\frac{3x}{4x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{4x}{\tan 4x}.\frac{3}{4}]\\ & =\frac{3}{4}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{\tan 4x}\\ & =\frac{3}{4}.1\\ & =\frac{3}{4}\end{array}}$

4). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\tan 4x}{5x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\tan 4x}{5x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2\tan 4x}{5x}.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{2\tan 4x}{5x}.\frac{4x}{4x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[2.\frac{\tan 4x}{4x}.\frac{4x}{5x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[2.\frac{\tan 4x}{4x}.\frac{4}{5}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{8}{5}.\frac{\tan 4x}{4x}]\\ & =\frac{8}{5}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 4x}{4x}\\ & =\frac{8}{5}.1\\ & =\frac{8}{5}\end{array}}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{\sin 5x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{\sin 5x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 2x}{\sin 5x}.1.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 2x}{\sin 5x}.\frac{2x}{2x}.\frac{5x}{5x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 2x}{2x}.\frac{5x}{\sin 5x}.\frac{2x}{5x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 2x}{2x}.\frac{5x}{\sin 5x}.\frac{2}{5}]\\ & =\frac{2}{5}.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 2x}{2x}.\frac{5x}{\sin 5x}]\\ & =\frac{2}{5}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{2x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{5x}{\sin 5x}\\ & =\frac{2}{5}.1.1\\ & =\frac{2}{5}\end{array}}$

6). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{\tan 2x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{\tan 2x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 8x}{\tan 2x}.1.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 8x}{\tan 2x}.\frac{8x}{8x}.\frac{2x}{2x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 8x}{8x}.\frac{2x}{\tan 2x}.\frac{8x}{2x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 8x}{8x}.\frac{2x}{\tan 2x}.\frac{8}{2}]\\ & =\frac{8}{2}.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 8x}{8x}.\frac{2x}{\tan 2x}]\\ & =4.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{8x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\tan 2x}\\ & =4.1.1\\ & =4\end{array}}$

7). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 7x}{\tan 3x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 7x}{\tan 3x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 7x}{\tan 3x}.1.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 7x}{\tan 3x}.\frac{7x}{7x}.\frac{3x}{3x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 7x}{7x}.\frac{3x}{\tan 3x}.\frac{7x}{3x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 7x}{7x}.\frac{3x}{\tan 3x}.\frac{7}{3}]\\ & =\frac{7}{3}.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\sin 7x}{7x}.\frac{3x}{\tan 3x}]\\ & =\frac{7}{3}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 7x}{7x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 3x}\\ & =\frac{7}{3}.1.1\\ & =\frac{7}{3}\end{array}}$

8). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{\sin 2x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{\sin 2x}& =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 10x}{\sin 2x}.1.1]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 10x}{\sin 2x}.\frac{10x}{10x}.\frac{2x}{2x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 10x}{10x}.\frac{2x}{\sin 2x}.\frac{10x}{2x}]\\ & =\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 10x}{10x}.\frac{2x}{\sin 2x}.\frac{10}{2}]\\ & =\frac{10}{2}.\underset{x\to 0}{lim}[\frac{\tan 10x}{10x}.\frac{2x}{\sin 2x}]\\ & =5.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{10x}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\sin 2x}\\ & =5.1.1\\ & =5\end{array}}$

Related: Limit Tak Hingga Fungsi Trigonometri

Akhirnya selesai juga, pegel banget tau ngetik simbol matematika sebanyak ini. Tapi gapapa, semoga kamu paham dengan apa yang Pak Anwar tulis. Jika kamu paham, itu udah membuat Pak Anwar seneng kok hehe.

Nah, berikutnya Pak Anwar akan coba bahas menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri yang lebih umum. Menggunakan sifat ini akan lebih cepat tentunya, kamupun pasti akan lebih mudah memahaminya.

Jawaban Menggunakan Sifat Lebih Umum

1). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x}{3x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\sin x}{3x}& =2.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin x}{3x}\\ & =2.\frac{1}{3}\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

2). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{3\sin 2x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{3\sin 2x}& =\frac{1}{3}.\underset{x\to 0}{lim}\frac{4x}{\sin 2x}\\ & =\frac{1}{3}.\frac{4}{2}\\ & =\frac{1}{3}.2\\ & =\frac{2}{3}\end{array}}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{3x}{\tan 4x}=\frac{3}{4}}$

4). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2\tan 4x}{5x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{2\tan 4x}{5x}& =2.\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 4x}{5x}\\ & =2.\frac{4}{5}\\ & =\frac{8}{5}\end{array}}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 2x}{\sin 5x}=\frac{2}{5}}$

6). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{\tan 2x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 8x}{\tan 2x}& =\frac{8}{2}\\ & =4\end{array}}$

Related: Limit Fungsi Trigonometri

7). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\sin 7x}{\tan 3x}=\frac{7}{3}}$

8). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{\sin 2x}}$

${\displaystyle \begin{array}{rl}\underset{x\to 0}{lim}\frac{\tan 10x}{\sin 2x}& =\frac{10}{2}\\ & =5\end{array}}$

Oke, kelar juga akhirnya.

Gimana, lebih mudah pakai sifat yang lebih umum kan?

Terserah kamu mau pilih cara yang mana, tapi aku yakin pasti kamu pilih cara yang kedua kan? Hahaha

Kamu boleh kok pilih cara yang kedua, tapi kamu juga harus bisa menggunakan cara yang pertama. Tujuan utama dari belajar matematika bukan hanya sekedar bisa menyelesaikan soal doang tanpa tau dasarnya, tapi belajar matematika itu untuk melatih ketajaman logika dan analisis kamu.

Bagaimana logika dan analisis kamu bisa tajam kalau hanya sekedar menyelesaikan soal dengan cara-cara yang praktis doang. Masuk akal kan?

Nah, agar logika dan daya analisis kamu semakin bagus cobain nih kerjakan soal-soal latihan ini.

4. Soal Latihan Limit Fungsi Trigonometri

Berikut ini adalah soal latihan limit fungsi trigonometri, cobain kerjakan dengan dua cara ya biar kamu makin pinter.

1). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{2x}{\sin 3x}}$

2). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{9x}{4\tan 3x}}$

3). ${\displaystyle \underset{x\to 0}{lim}\frac{5\tan 3x}{3\sin 2x}}$

4). ${\displaystyle \underset{x\to 1}{lim}\frac{\sin (\pi x-\pi )}{x-1}}$

5). ${\displaystyle \underset{x\to 2}{lim}\frac{\sin (x-2)}{x^2-4}}$

Itulah materi sifat limit fungsi trigonometri dan contohnya, berikutnya kita akan bahas soal limit fungsi trigonometri tingkat lanjut. Bisa dikatakan lebih sulit gitu, oleh karena itu kamu harus benar-benar lancar dulu materi pada tulisan ini.

Bagikan tulisan ini agar bermanfaat, Pak Anwar yakin diluar sana masih banyak yang belum paham dengan sifat limit fungsi trigonometri ini. Kasih tau temen kamu untuk belajar di dokmat yaa.