Deret Geometri Tak Hingga dan Contoh Soal - Dokmat

Deret geometri tak hingga adalah suatu deret geometri dengan banyak suku-sukunya tak hingga. Adapun bentuk umumnya sebagai berikut:

$S_{\mathrm{\infty }}=a+ar+\dots +a{r}^{n-1}+a{r}^n+\dots$

atau 

$S_{\mathrm{\infty }}=U_1+U_2+\dots +U_n+U_{n+1}+\dots$

Nah sekarang akan dibahas cara mencari rumus deret geometri tak hingga agar Kamu paham asal-usul rumus tersebut, pembuktian rumus deret geometri tak hingga sebenarnya dibuktikan dengan menggunakan rumus deret geometri berhingga, yaitu $S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

Bagaimana cara mencari rumusnya? Simaklah pembahasan berikut:

$S_n=\frac{a(1-r^n)}{1-r}$

$S_n=\frac{a-a{r}^n}{1-r}$

$S_n=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{a{r}^n}{1-r}\right)$

Lihat rumusan tersebut!

Kira-kira apa yang akan terjadi jika n mendekati tak hingga?

Untuk $r>1$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{a{r}^{\mathrm{\infty }}}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{\mathrm{\infty }}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-(-\mathrm{\infty })$, sebab $1-r$ menghasilkan negatif.

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)+\left(\mathrm{\infty }\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$

Jadi rumusnya adalah $\boxed{{\displaystyle S_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }}}$

Related: Barisan Aritmatika, Pembuktian Rumus, dan Contoh Soal

Untuk $r<-1$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{a{r}^{\mathrm{\infty }}}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{\mathrm{\infty }}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\mathrm{\infty }\right)$, sebab $1-r$ menghasilkan positif.

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\mathrm{\infty }\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=-\mathrm{\infty }$

Jadi rumusnya adalah $\boxed{{\displaystyle S_{\mathrm{\infty }}=-\mathrm{\infty }}}$

Untuk $-1<r<1$

Artinya $r$ merupakan merupakan sebuah pecahan. Sekarang coba lihat apa yang akan terjadi jika sebuah pecahan pangkatnya semakin besar.

Misalkan $r=\frac{1}{2}$

$r,r^2,r^3,r^4,...$

$\frac{1}{2},\frac{1}{4},\frac{1}{8},\frac{1}{16},...$

$(0,2),(0,25),(0,125),(0,0625),...$

Misalkan $r=\frac{2}{3}$

$r,r^2,r^3,r^4,...$

$\frac{2}{3},\frac{4}{9},\frac{8}{27},\frac{16}{81},...$

Related: Aplikasi Deret Geometri Tak Hingga

$(0,67),(0,44),(0,296),(0,198),...$

Uraian diatas menjelaskan bahwa jika suatu pecahan semakin besar pangkatnya maka nilainya akan semakin mendekati 0 (nol). Paham kan?

Oke sekarang Kita kembali ke rumus!

Ingat, r adalah pecahan. Artinya dia akan mendekati nilai nol.

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{a{r}^{\mathrm{\infty }}}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(\frac{0}{1-r}\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\left(\frac{a}{1-r}\right)-\left(0\right)$

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

Jadi rumusnya adalah $\boxed{{\displaystyle {\displaystyle S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}}}}$

Deret geometri tak hingga untuk $r>1$ dan $r<-1$ disebut deret divergen, artinya jika dijumlahkan sampai tak hingga memberikan hasil $+\mathrm{\infty }$ atau $-\mathrm{\infty }$.

Sedangkan deret geometri tak hingga untuk $-1<r<1$ disebut deret konvergen, artinya jika dijumlahkan sampai tak hingga memberikan suatu nilai tertentu.

Nah berikut ini adalah contoh soal deret geometri tak hingga beserta jawabannya.

1). Tentukan jumlah tak hingga dari deret berikut:

a). $2,4,8,18,...$

b). $(-3),9,(-27),81,...$

c). $16,8,4,2,...$

Jawab:

a). Rasionya adalah $\frac{4}{2}=2$. Dikarenakan rasionya lebih dari satu, maka maka hasilnya positif tak hingga. $S_{\mathrm{\infty }}=\mathrm{\infty }$

Related: Rumus Sisipan Barisan Aritmatika

b). Rasionya adalah $\frac{9}{-3}=-3$. Dikarenakan rasionya kurang dari negatif satu, maka hasilnya negatif tak hingga. $S_{\mathrm{\infty }}=-\mathrm{\infty }$

c). Diketahui rasionya adalah $\frac{8}{16}=\frac{1}{2}$, $n=\mathrm{\infty }$ dan $a=16$

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{16}{1-\frac{1}{2}}$

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{16}{\frac{1}{2}}$

$S_{\mathrm{\infty }}=16\times 2$

$S_{\mathrm{\infty }}=32$

2). Diketahui jumlah tak hingga suatu deret geometri adalah 4 dan suku pertamanya adalah 3. Tentukanlah nilai rasionya!

Jawab:

Diketahui $S_{\mathrm{\infty }}=4$, dan $a=3$

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

$4=\frac{3}{1-r}$

$4(1-r)=3$

$4-4r=3$

Related: Deret Geometri dan Contoh Soal

$-4r=3-4$

$-4r=-1$

$r=\frac{-1}{-4}$

$r=\frac{1}{4}$

3). Jumlah deret geometri tak hingga $a,1,\frac{1}{a},\frac{1}{a^2}$ adalah $4a$. Tentukanlah nilai $a$!

Jawab:

Diketahui $S_{\mathrm{\infty }}=4a$, suku pertamanya adalah $a$, dan rasionya adalah $\frac{1}{a}$.

$S_{\mathrm{\infty }}=\frac{a}{1-r}$

$4a=\frac{a}{1-\frac{1}{a}}$

$4a=\frac{a}{\frac{a-1}{a}}$

$4a=\frac{a^2}{a-1}$

$4a(a-1)=a^2$

$4a^2-4a=a^2$

$4a^2-a^2-4a=0$

$3a^2-4a=0$

$a(3a-4)=0$

$a=0$ atau $a=\frac{4}{3}$

$a=0$ (tidak mungkin), karena rasionya $\frac{1}{a}$. Jika $a=0$ maka rasionya tidak ada, sehingga kesimpulannya adalah $a=\frac{4}{3}$

Itulah pembahasan mengenai pembuktian rumus deret geometri tak hingga, selanjutnya Kita akan belajar contoh soal deret geometri tak hingga dalam kehidupan sehari-hari. Jika kamu menganggap tulisan ini sangat bermanfaat silahkan share sebanyak-banyaknya. See you, bye!